4 Möglichkeiten, die Fläche eines Kreises zu berechnen

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4 Möglichkeiten, die Fläche eines Kreises zu berechnen
4 Möglichkeiten, die Fläche eines Kreises zu berechnen
Anonim

Ein häufiges Problem in Geometrieklassen besteht darin, dass Sie die Fläche eines Kreises basierend auf den bereitgestellten Informationen berechnen müssen. Sie müssen die Formel zum Bestimmen der Fläche eines Kreises kennen, A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

. The formula is simple and only needs the radius of the circle to find its area. However, you also need to practice converting some other bits of provided data into terms that can help you use this formula.

Steps

Method 1 of 4: Using Radius to Find Area

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 1

Schritt 1. Bestimmen Sie den Radius eines Kreises

Der Radius ist die Länge vom Mittelpunkt eines Kreises bis zum Rand des Kreises. Sie können dies in jede Richtung messen und der Radius ist gleich. Der Radius beträgt ebenfalls die Hälfte des Durchmessers eines Kreises. Der Durchmesser ist das Liniensegment, das durch den Mittelpunkt geht und gegenüberliegende Seiten des Kreises verbindet.

  • Der Radius wird Ihnen in der Regel mitgeteilt. Es kann schwierig sein, den genauen Mittelpunkt eines Kreises zu messen, es sei denn, der Mittelpunkt ist bereits auf einem auf Papier gezeichneten Kreis für Sie markiert.
  • Nehmen Sie für dieses Beispiel an, dass Ihnen gesagt wird, dass der Radius eines bestimmten Kreises 6 cm beträgt.
Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 2

Schritt 2. Quadrieren Sie den Radius

Die Formel um die Fläche eines Kreises zu bestimmen ist A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

, where the r{displaystyle r}

variable represents the radius. This variable is squared.

  • Do not get confused and square the entire equation.
  • For the sample circle with radius, r=6{displaystyle r=6}

    , then r2=36{displaystyle r^{2}=36}

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 3

Schritt 3. Mit pi multiplizieren

Pi, symbolisch geschrieben mit dem griechischen Buchstaben π{displaystyle \pi}

, is a mathematical constant that represents the ratio between the circumference and the diameter of the circle. As a decimal approximation, π{displaystyle \pi }

is approximately 3.14. The true decimal value continues on infinitely. For an exact statement of the area of a circle, you will usually report your answer using the symbol π{displaystyle \pi }

itself.

  • For the given example with a radius of 6 cm, the area is calculated as:

    • A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

    • A=π62{displaystyle A=\pi 6^{2}}

    • A=36π{displaystyle A=36\pi }

      or A=36(3.14)=113.04{displaystyle A=36(3.14)=113.04}

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 4

Schritt 4. Melden Sie Ihr Ergebnis

Denken Sie daran, dass eine Flächenberechnung in „Quadrat“-Einheiten gemeldet wird. Wenn der Radius in Zentimetern gemessen wurde, wird die Fläche in Quadratzentimetern angegeben. Wenn der Radius in Fuß gemessen wurde, wird die Fläche in Quadratfuß angegeben. Sie sollten auch wissen, ob Sie Ihr Ergebnis mit dem Symbol π{displaystyle \pi} melden sollen.

or the numerical approximation. If you do not know, then report both.

  • For the sample circle with a radius of 6 cm, the area will be either 36π{displaystyle \pi }

    cm2 or 113.04 cm2.

Method 2 of 4: Calculating Area from the Diameter

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 5

Schritt 1. Messen oder notieren Sie den Durchmesser

Einige Probleme oder Situationen geben Ihnen den Radius nicht an. Stattdessen kann Ihnen der Durchmesser eines Kreises gegeben werden. Wenn der Durchmesser in Ihr Diagramm eingezeichnet ist, können Sie ihn mit einem Lineal messen. Alternativ kann Ihnen nur der Wert des Durchmessers mitgeteilt werden.

Nehmen Sie für dieses Beispiel an, dass der Durchmesser Ihres Kreises 20 Zoll beträgt

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 6

Schritt 2. Teilen Sie den Durchmesser in zwei Hälften

Denken Sie daran, dass der Durchmesser gleich dem doppelten Radius ist. Schneiden Sie daher jeden Wert, den Sie für den Durchmesser erhalten, in zwei Hälften und Sie haben den Radius.

Daher hat der Probenkreis mit einem Durchmesser von 20 Zoll einen Radius von 20/2 oder 10 Zoll

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 7

Schritt 3. Verwenden Sie die ursprüngliche Formel für die Fläche

Nachdem Sie den Durchmesser in den Radius umgerechnet haben, können Sie die Formel A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}} verwenden

to calculate the area of the circle. Insert the value for the radius and perform the remaining calculations as follows:

  • A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

  • A=π102{displaystyle A=\pi 10^{2}}

  • A=100π{displaystyle A=100\pi }

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 8

Schritt 4. Geben Sie den Wert der Fläche an

Denken Sie daran, dass Ihr Gebiet in Quadrateinheiten angegeben werden muss. In diesem Beispiel wurde der Durchmesser in Zoll gemessen, der Radius ist also in Zoll. Daher wird die Fläche in Quadratzoll angegeben. Für dieses Beispiel beträgt die Fläche 100π{displaystyle 100\pi}

sq. in.

  • You can also provide the numerical approximation by multiplying by 3.14 instead of π{displaystyle \pi }

    . This will give a result of (100)(3.14) = 314 sq. in.

EXPERT TIP

Grace Imson, MA

Grace Imson, MA

Math Instructor, City College of San Francisco Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.

Grace Imson, MA

Grace Imson, MA

Math Instructor, City College of San Francisco

The most common error when using diameter is forgetting to square the denominator

If you don't divide the diameter by 2 to find the radius, you can still find the area of the circle. However, you need to change the formula so that you square the 'd' otherwise your answer will be wrong.

Method 3 of 4: Using Circumference to Calculate Area

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 9

Schritt 1. Lernen Sie die überarbeitete Formel

Wenn Sie den Umfang eines Kreises kennen, können Sie eine Überarbeitung der Formel für die Fläche eines Kreises verwenden. Diese überarbeitete Formel verwendet den Umfang direkt, ohne den Radius, um die Fläche zu finden. Diese neue Formel lautet:

  • A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi}}}

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 10

Schritt 2. Messen oder notieren Sie den Umfang

In einigen realen Situationen können Sie den Durchmesser oder Radius möglicherweise nicht genau messen. Wenn der Durchmesser nicht für Sie gezeichnet oder der Mittelpunkt nicht identifiziert ist, kann es schwierig sein, sich dem Mittelpunkt eines Kreises anzunähern. Für einige physikalische Kreise - zum Beispiel eine Pizzapfanne oder eine Bratpfanne - können Sie möglicherweise ein Maßband verwenden und den Umfang genauer messen als den Durchmesser.

Nehmen Sie für dieses Beispiel an, dass Ihnen gesagt oder gemessen wurde, dass der Umfang eines Kreises (oder eines kreisförmigen Objekts) 42 cm beträgt

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 11

Schritt 3. Verwenden Sie die Beziehung zwischen Umfang und Radius, um die Formel zu überarbeiten

Der Umfang eines Kreises ist gleich Pi mal dem Durchmesser. Dies kann geschrieben werden als C=πd{displaystyle C=\pi d}

. Then, recall that the diameter is equal to twice the radius, or d=2r{displaystyle d=2r}

. You can combine these two equalities to create the following relationship: C=π2r{displaystyle C=\pi 2r}

. Rearrange this to isolate the variable r{displaystyle r}

by itself, as follows:

  • C=π2r{displaystyle C=\pi 2r}

  • C2π=r{displaystyle {frac {C}{2\pi }}=r}

    ….. (divide both sides by 2π{displaystyle \pi }

    )

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 12

Schritt 4. Setzen Sie in die Formel für die Fläche eines Kreises ein

Sie können eine modifizierte Version der Formel für die Fläche eines Kreises erstellen, indem Sie diese Beziehung zwischen Umfang und Radius verwenden. Ersetzen Sie diese neueste Gleichheit wie folgt in die ursprüngliche Flächenformel:

  • A=πr2{displaystyle A=\pi r^{2}}

    …..(original area formula)

  • A=π(C2π)2{displaystyle A=\pi ({frac {C}{2\pi }})^{2}}

    ….. (substitute equality for r)

  • A=π(C24π2){displaystyle A=\pi ({frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})}

    …..(square the fraction)

  • A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}

    …..(cancel π{displaystyle \pi }

    in numerator and denominator)

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 13

Schritt 5. Verwenden Sie die überarbeitete Formel, um die Fläche zu lösen

Mit dieser überarbeiteten Formel, die mit dem Umfang statt mit dem Radius geschrieben ist, können Sie Ihre gegebenen Informationen verwenden und die Fläche direkt finden. Geben Sie den Wert des Umfangs ein und führen Sie die Berechnungen wie folgt durch:

  • Für dieses Beispiel erhielten Sie C=42{displaystyle C=42}

    inches.

  • A=C24π{displaystyle A={frac {C^{2}}{4\pi }}}

  • A=4224π{displaystyle A={frac {42^{2}}{4\pi }}}

    …..(insert value)

  • A=17644π{displaystyle A={frac {1764}{4\pi }}}

    .….(calculate 422)

  • A=441π{displaystyle A={frac {441}{pi }}}

    …..(divide by 4)

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 14

Schritt 6. Melden Sie Ihr Ergebnis

Es sei denn, Ihnen wird der Umfang als Vielfaches von π{displaystyle \pi} mitgeteilt.

, then your result is likely to be a fraction with π{displaystyle \pi }

in the denominator. There is nothing wrong with this. You should report your area calculation in that term, or you may approximate it by dividing by 3.14.

  • For this sample circle, with a circumference given as 42 cm, the area is 441π{displaystyle {frac {441}{pi }}}

    sq. cm.

  • If you approximate, 441π=4413.14=140.4{displaystyle {frac {441}{pi }}={frac {441}{3.14}}=140.4}

    . The area is approximately equal to 140 sq. cm.

Method 4 of 4: Finding Area from a Sector of the Circle

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 15

Schritt 1. Identifizieren Sie die bekannten oder gegebenen Informationen

Bei einigen Problemen werden Ihnen möglicherweise Informationen zu einem Kreissektor angezeigt und Sie werden dann aufgefordert, die Fläche des Vollkreises zu ermitteln. Lesen Sie die Aufgabe sorgfältig durch und suchen Sie nach Informationen, die etwa sagen: „Ein Sektor von Kreis O hat eine Fläche von 15π{displaystyle \pi}

cm2. Find the area of Circle O.”

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 16

Schritt 2. Definieren Sie den ausgewählten Sektor

Ein Kreissektor ist ein Teil, der manchmal auch als „Keil“bezeichnet wird. Ein Sektor wird definiert, indem zwei Radien von der Mitte zum Rand des Kreises gezogen werden. Der Raum zwischen diesen beiden Radien ist der Sektor.

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 17

Schritt 3. Messen Sie den Zentralwinkel des Sektors

Verwenden Sie einen Winkelmesser, um den Zentriwinkel der beiden Radien zu messen. Stellen Sie die Basis des Winkelmessers entlang eines der Radien ein, wobei der Mittelpunkt des Winkelmessers mit dem Mittelpunkt des Kreises ausgerichtet ist. Lesen Sie dann das Winkelmaß ab, das der Position des zweiten Radius entspricht, der den Sektor bildet.

  • Stellen Sie sicher, dass Sie wissen, ob Sie den kleinen Winkel zwischen den beiden Radien oder den größeren Winkel außerhalb messen. Das Problem, an dem Sie arbeiten, sollte dies für Sie definieren. Die Summe des kleinen Winkels und des großen Winkels beträgt 360 Grad.
  • Bei einigen Problemen kann es sein, dass Sie nicht den Zentralwinkel messen, sondern nur die Messung. Zum Beispiel könnte Ihnen gesagt werden: „Der Zentralwinkel des Sektors beträgt 45 Grad“oder es wird erwartet, dass Sie ihn messen.
Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 18

Schritt 4. Verwenden Sie eine modifizierte Formel für die Fläche

Wenn Sie die Fläche eines Sektors und seine Mittelpunktswinkelmessung kennen, können Sie die folgende modifizierte Formel verwenden, um die Fläche des Kreises zu ermitteln:

  • Acir=Asec360C{displaystyle A_{cir}=A_{sec}{frac {360}{C}}}

    • Acir{displaystyle A_{cir}}

      is the area of the full circle

    • Asec{displaystyle A_{sec}}

      is the area of the sector

    • C{displaystyle C}

      is the central angle measure

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 19

Schritt 5. Geben Sie die Ihnen bekannten Werte ein und lösen Sie den Bereich

In diesem Beispiel wurde Ihnen gesagt, dass der Zentralwinkel 45 Grad beträgt und der Sektor eine Fläche von 15π{displaystyle \pi} hat.

. Insert these into this formula and solve as follows:

  • Acir=Asec360C{displaystyle A_{cir}=A_{sec}{frac {360}{C}}}

  • Acir=15π36045{displaystyle A_{cir}=15\pi {frac {360}{45}}}

  • Acir=15π(8){displaystyle A_{cir}=15\pi (8)}

  • Acir=120π{displaystyle A_{cir}=120\pi }

Berechnen Sie die Fläche eines Kreises Schritt 20

Schritt 6. Melden Sie das Ergebnis

In diesem Beispiel war der Sektor ein Achtel des Vollkreises. Daher ist die Fläche des Vollkreises 120π{displaystyle\pi}

cm2. Since the sector's area was given in terms of π{displaystyle \pi }

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