3 einfache Möglichkeiten, die Fläche eines Pentagons zu finden

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3 einfache Möglichkeiten, die Fläche eines Pentagons zu finden
3 einfache Möglichkeiten, die Fläche eines Pentagons zu finden
Anonim

Ein Fünfeck ist ein Vieleck mit fünf geraden Seiten. Fast alle Aufgaben, die Sie im Mathematikunterricht finden, umfassen normale Fünfecke mit fünf gleichen Seiten. Es gibt zwei gängige Möglichkeiten, das Gebiet zu finden, je nachdem, wie viele Informationen Sie haben.

Schritte

Methode 1 von 3: Ermitteln des Bereichs aus der Seitenlänge und dem Apothem

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Fünfecks Schritt 1

Schritt 1. Beginnen Sie mit der Seitenlänge und dem Apothem

Diese Methode funktioniert für regelmäßige Fünfecke mit fünf gleichen Seiten. Neben der Seitenlänge benötigen Sie das "Apothem" des Fünfecks. Das Apothem ist die Linie von der Mitte des Fünfecks zu einer Seite, die die Seite im rechten Winkel von 90º schneidet.

  • Verwechseln Sie das Apothem nicht mit dem Radius, der eine Ecke (Scheitelpunkt) anstelle eines Mittelpunkts berührt. Wenn Sie nur die Seitenlänge und den Radius kennen, springen Sie stattdessen zur nächsten Methode.
  • Wir verwenden ein Beispielpentagon mit Seitenlänge

    Schritt 3. Einheiten und Apothe

    Schritt 2. Einheiten.

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 2

Schritt 2. Teilen Sie das Fünfeck in fünf Dreiecke

Zeichnen Sie fünf Linien von der Mitte des Fünfecks, die zu jedem Scheitelpunkt (Ecke) führen. Sie haben jetzt fünf Dreiecke.

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 3

Schritt 3. Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks

Jedes Dreieck hat a Base gleich der Seite des Fünfecks. Es hat auch eine Höhe gleich dem Apothem des Fünfecks. (Denken Sie daran, dass die Höhe eines Dreiecks von einem Scheitelpunkt zur gegenüberliegenden Seite im rechten Winkel verläuft.) Um die Fläche eines Dreiecks zu ermitteln, berechnen Sie einfach ½ x Basis x Höhe.

  • In unserem Beispiel Fläche des Dreiecks = ½ x 3 x 2 =

    Schritt 3. quadratische Einheiten.

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Fünfecks Schritt 4

Schritt 4. Multiplizieren Sie mit fünf, um die Gesamtfläche zu ermitteln

Wir haben das Fünfeck in fünf gleiche Dreiecke unterteilt. Um die Gesamtfläche zu ermitteln, multiplizieren Sie einfach die Fläche eines Dreiecks mit fünf.

  • In unserem Beispiel ist A(gesamtes Fünfeck) = 5 x A(Dreieck) = 5 x 3 =

    Schritt 15. quadratische Einheiten.

Methode 2 von 3: Ermitteln des Bereichs aus der Seitenlänge

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 5

Schritt 1. Beginnen Sie nur mit der Seitenlänge

Diese Methode funktioniert nur bei regelmäßigen Fünfecken, die fünf gleich lange Seiten haben.

  • In diesem Beispiel verwenden wir ein Fünfeck mit Seitenlänge

    Schritt 7. Einheiten.

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Fünfecks Schritt 6

Schritt 2. Teilen Sie das Fünfeck in fünf Dreiecke

Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Fünfecks zu einem beliebigen Scheitelpunkt. Wiederholen Sie dies für jeden Scheitelpunkt. Sie haben jetzt fünf gleichgroße Dreiecke.

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Fünfecks Schritt 7

Schritt 3. Teilen Sie ein Dreieck in zwei Hälften

Zeichnen Sie eine Linie von der Mitte des Fünfecks zur Basis eines Dreiecks. Diese Linie sollte im rechten Winkel von 90º auf die Basis treffen und das Dreieck in zwei gleiche, kleinere Dreiecke teilen.

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Fünfecks Schritt 8

Schritt 4. Beschriften Sie eines der kleineren Dreiecke

Wir können bereits eine Seite und einen Winkel des kleineren Dreiecks beschriften:

  • Die Base des Dreiecks ist die halbe Seite des Fünfecks. In unserem Beispiel sind dies ½ x 7 = 3,5 Einheiten.
  • Die Winkel in der Mitte des Fünfecks ist immer 36º. (Beginnend mit einem vollen 360º-Zentrum, könnten Sie es in 10 dieser kleineren Dreiecke unterteilen. 360 ÷ 10 = 36, also beträgt der Winkel an einem Dreieck 36º.)
Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 9

Schritt 5. Berechnen Sie die Höhe des Dreiecks

Die Höhe dieses Dreiecks ist die Seite im rechten Winkel zum Rand des Fünfecks, die zur Mitte führt. Wir können beginnende Trigonometrie verwenden, um die Länge dieser Seite zu bestimmen:

  • In einem rechtwinkligen Dreieck ist der Tangente eines Winkels gleich der Länge der gegenüberliegenden Seite geteilt durch die Länge der angrenzenden Seite.
  • Die dem 36º-Winkel gegenüberliegende Seite ist die Basis des Dreiecks (die halbe Seite des Fünfecks). Die Seite neben dem 36º-Winkel ist die Höhe des Dreiecks.
  • tan(36º) = gegenüber / angrenzend
  • In unserem Beispiel ist tan(36º) = 3,5 / Höhe
  • Höhe x tan (36º) = 3.5
  • Höhe = 3,5 / tan (36º)
  • Höhe = (ungefähr) 4.8 Einheiten.
Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 10

Schritt 6. Finden Sie die Fläche des Dreiecks

Die Fläche eines Dreiecks entspricht der Hälfte der Basis x der Höhe. (A = ½bh.) Nun, da Sie die Höhe kennen, setzen Sie diese Werte ein, um die Fläche Ihres kleinen Dreiecks zu ermitteln.

In unserem Beispiel Fläche des kleinen Dreiecks = ½bh = ½(3,5)(4,8) = 8,4 Quadrateinheiten

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 11

Schritt 7. Multiplizieren Sie, um die Fläche des Fünfecks zu finden

Eines dieser kleineren Dreiecke bedeckt 1/10 der Fläche des Fünfecks. Um die Gesamtfläche zu ermitteln, multiplizieren Sie die Fläche des kleineren Dreiecks mit 10.

  • In unserem Beispiel ist die Fläche des ganzen Fünfecks = 8,4 x 10 = 84 quadratische Einheiten.

Methode 3 von 3: Verwenden einer Formel

Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 12

Schritt 1. Verwenden Sie den Umfang und das Apothem

Das Apothem ist eine Linie aus der Mitte eines Fünfecks, die im rechten Winkel auf eine Seite trifft. Wenn Ihnen die Länge gegeben ist, können Sie diese einfache Formel verwenden

  • Fläche eines regelmäßigen Fünfecks = pa /2, wobei p = Umfang und a = Apothem.
  • Wenn Sie den Umfang nicht kennen, berechnen Sie ihn aus der Seitenlänge: p = 5s, wobei s die Seitenlänge ist.
Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Pentagons Schritt 13

Schritt 2. Verwenden Sie die Seitenlänge

Wenn Sie nur die Seitenlänge kennen, verwenden Sie die folgende Formel:

  • Fläche eines regelmäßigen Fünfecks = (5 s 2) / (4tan(36º)), wobei s = Seitenlänge.
  • tan(36º) = √(5-2√5). Wenn Ihr Taschenrechner also keine "tan"-Funktion hat, verwenden Sie die Formel Fläche = (5 s 2) / (4√(5-2√5)).
Finden Sie den Bereich eines regelmäßigen Fünfecks Schritt 14

Schritt 3. Wählen Sie eine Formel, die nur den Radius verwendet

Sie können sogar das Gebiet finden, wenn Sie nur den Radius kennen. Verwenden Sie diese Formel:

  • Fläche eines regelmäßigen Fünfecks = (5/2) r 2sin(72º), wobei r der Radius ist.

Video - Durch die Nutzung dieses Dienstes können einige Informationen an YouTube weitergegeben werden

Tipps

  • Unregelmäßige Fünfecke oder Fünfecke mit ungleichen Seiten sind schwieriger zu studieren. Der beste Ansatz besteht normalerweise darin, das Fünfeck in Dreiecke zu unterteilen und die Fläche jedes Dreiecks zu addieren. Möglicherweise müssen Sie auch eine größere Form um das Fünfeck zeichnen, seine Fläche berechnen und die Fläche des zusätzlichen Raums subtrahieren.
  • Die hier aufgeführten Beispiele verwenden gerundete Werte, um die Mathematik zu vereinfachen. Wenn Sie ein echtes Polygon mit der angegebenen Seitenlänge messen, erhalten Sie für die anderen Längen und Flächen etwas andere Ergebnisse.
  • Verwenden Sie nach Möglichkeit sowohl eine geometrische Methode als auch eine Formelmethode und vergleichen Sie die Ergebnisse, um sicherzustellen, dass Sie die richtige Antwort haben. Sie können leicht unterschiedliche Antworten erhalten, wenn Sie die Formel auf einmal eingeben (da Sie nicht auf dem Weg runden), aber sie sollten sehr nahe beieinander liegen.
  • Die Formeln sind aus geometrischen Methoden abgeleitet, ähnlich den hier beschriebenen. Sehen Sie, ob Sie herausfinden können, wie Sie sie finden. Die Formel aus dem Radius ist schwieriger abzuleiten als die anderen (Hinweis: Sie benötigen die doppelte Winkelidentität).

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