4 Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen

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4 Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen
4 Möglichkeiten, die Fläche eines Dreiecks zu berechnen
Anonim

Die gebräuchlichste Methode, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, besteht darin, die Hälfte der Basis mal der Höhe zu nehmen. Es gibt jedoch zahlreiche andere Formeln, um die Fläche eines Dreiecks zu bestimmen, je nachdem, welche Informationen Sie kennen. Mit Informationen über die Seiten und Winkel eines Dreiecks ist es möglich, die Fläche zu berechnen, ohne die Höhe zu kennen.

Schritte

Methode 1 von 4: Verwenden von Basis und Höhe

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 1

Schritt 1. Finden Sie die Basis und Höhe des Dreiecks

Die Basis ist eine Seite des Dreiecks. Die Höhe ist das Maß des höchsten Punktes eines Dreiecks. Es wird gefunden, indem eine senkrechte Linie von der Basis zum gegenüberliegenden Scheitelpunkt gezogen wird. Diese Informationen sollten Ihnen gegeben werden, oder Sie sollten in der Lage sein, die Längen zu messen.

Sie haben beispielsweise ein Dreieck mit einer Grundfläche von 5 cm Länge und einer Höhe von 3 cm Länge

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 2

Schritt 2. Stellen Sie die Formel für die Fläche eines Dreiecks auf

Die Formel lautet Fläche=12(bh){displaystyle {text{Fläche}}={frac {1}{2}}(bh)}

, where b{displaystyle b}

is the length of the triangle’s base, and h{displaystyle h}

is the height of the triangle.

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 3

Schritt 3. Setzen Sie die Basis und die Höhe in die Formel ein

Multiplizieren Sie die beiden Werte miteinander und multiplizieren Sie dann ihr Produkt mit 12{displaystyle {frac {1}{2}}}

. This will give you the area of the triangle in square units.

  • For example, if the base of your triangle is 5 cm and the height is 3 cm, you would calculate:

    Area=12(bh){displaystyle {text{Area}}={frac {1}{2}}(bh)}

    Area=12(5)(3){displaystyle {text{Area}}={frac {1}{2}}(5)(3)}

    Area=12(15){displaystyle {text{Area}}={frac {1}{2}}(15)}

    Area=7.5{displaystyle {text{Area}}=7.5}

    So, the area of a triangle with a base of 5 cm and a height of 3 cm is 7.5 square centimeters.

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 4

Schritt 4. Finden Sie die Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Da zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks senkrecht sind, ist eine der senkrechten Seiten die Höhe des Dreiecks. Die andere Seite wird die Basis sein. Auch wenn die Höhe und/oder Grundfläche nicht angegeben sind, erhalten Sie diese, wenn Sie die Seitenlängen kennen. Somit können Sie die Fläche=12(bh){displaystyle {text{Fläche}}={frac {1}{2}}(bh)}

formula to find the area.

  • You can also use this formula if you know one side length, plus the length of the hypotenuse. The hypotenuse is the longest side of a right triangle and is opposite the right angle. Remember that you can find a missing side length of a right triangle using the Pythagorean Theorem (a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    ).

  • For example, if the hypotenuse of a triangle is side c, the height and base would be the other two sides (a and b). If you know that the hypotenuse is 5 cm, and the base is 4 cm, use the Pythagorean theorem to find the height:

    a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

    a2+42=52{displaystyle a^{2}+4^{2}=5^{2}}

    a2+16=25{displaystyle a^{2}+16=25}

    a2+16−16=25−16{displaystyle a^{2}+16-16=25-16}

    a2=9{displaystyle a^{2}=9}

    a=3{displaystyle a=3}

    Now, you can plug the two perpendicular sides (a and b) into the area formula, substituting for the base and height:

    Area=12(bh){displaystyle {text{Area}}={frac {1}{2}}(bh)}

    Area=12(4)(3){displaystyle {text{Area}}={frac {1}{2}}(4)(3)}

    Area=12(12){displaystyle {text{Area}}={frac {1}{2}}(12)}

    Area=6{displaystyle {text{Area}}=6}

Method 2 of 4: Using Side Lengths

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 5

Schritt 1. Berechnen Sie den Halbumfang des Dreiecks

Der Halbumfang einer Figur entspricht der Hälfte ihres Umfangs. Um den Halbumfang zu ermitteln, berechnen Sie zunächst den Umfang eines Dreiecks, indem Sie die Länge seiner drei Seiten addieren. Dann multipliziere mit 12{displaystyle {frac {1}{2}}}

  • For example, if a triangle has three sides that are 5 cm, 4 cm, and 3 cm long, the semiperimeter is shown by:

    s=12(3+4+5){displaystyle s={frac {1}{2}}(3+4+5)}

    s=12(12)=6{displaystyle s={frac {1}{2}}(12)=6}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 6

Schritt 2. Richten Sie die Formel von Heron ein

Die Formel lautet Fläche=s(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle {text{Fläche}}={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

, where s{displaystyle s}

is the semiperimeter of the triangle, and a{displaystyle a}

, b{displaystyle b}

, and c{displaystyle c}

are the side lengths of the triangle.

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 7

Schritt 3. Setzen Sie den Halbumfang und die Seitenlängen in die Formel ein

Stellen Sie sicher, dass Sie den Semiperimeter für jede Instanz von s{displaystyle s} ersetzen

in the formula.

  • For example:

    Area=s(s−a)(s−b)(s−c){displaystyle {text{Area}}={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}

    Area=6(6−3)(6−4)(6−5){displaystyle {text{Area}}={sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 8

Schritt 4. Berechnen Sie die Werte in Klammern

Subtrahiere die Länge jeder Seite vom Halbumfang. Dann multiplizieren Sie diese drei Werte miteinander.

  • Zum Beispiel:

    Fläche=6(6−3)(6−4)(6−5){displaystyle {text{Fläche}}={sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)} }}

    Area=6(3)(2)(1){displaystyle {text{Area}}={sqrt {6(3)(2)(1)}}}

    Area=6(6){displaystyle {text{Area}}={sqrt {6(6)}}}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 9

Schritt 5. Multiplizieren Sie die beiden Werte unter dem Wurzelzeichen

Finden Sie dann ihre Quadratwurzel. Dadurch erhalten Sie die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten.

  • Zum Beispiel:

    Fläche=6(6){displaystyle {text{Fläche}}={sqrt {6(6)}}}

    Area=36{displaystyle {text{Area}}={sqrt {36}}}

    Area=6{displaystyle {text{Area}}=6}

    So, the area of the triangle is 6 square centimeters.

Method 3 of 4: Using One Side of an Equilateral Triangle

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 10

Schritt 1. Ermitteln Sie die Länge einer Seite des Dreiecks

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Seitenlängen und drei gleiche Winkelmaße. Wenn Sie also die Länge einer Seite kennen, kennen Sie die Länge aller drei Seiten.

Zum Beispiel könnten Sie ein Dreieck mit drei Seiten haben, die 6 cm lang sind

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 11

Schritt 2. Stellen Sie die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks auf

Die Formel lautet Fläche=(s2)34{displaystyle {text{Fläche}}=(s^{2}){frac {sqrt {3}}{4}}}

, where s{displaystyle s}

equals the length of one side of the equilateral triangle.

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 12

Schritt 3. Setzen Sie die Seitenlänge in die Formel ein

Stellen Sie sicher, dass Sie die Variable s{displaystyle s} ersetzen

, and then square the value.

  • For example if the equilateral triangle has sides that are 6 cm long, you would calculate:

    Area=(s2)34{displaystyle {text{Area}}=(s^{2}){frac {sqrt {3}}{4}}}

    Area=(62)34{displaystyle {text{Area}}=(6^{2}){frac {sqrt {3}}{4}}}

    Area=(36)34{displaystyle {text{Area}}=(36){frac {sqrt {3}}{4}}}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 13

Schritt 4. Multiplizieren Sie das Quadrat mit 3{displaystyle {sqrt {3}}}

It’s best to use the square root function on your calculator for a more precise answer. Otherwise, you can use 1.732 for the rounded value of 3{displaystyle {sqrt {3}}}

  • For example:

    Area=(36)34{displaystyle {text{Area}}=(36){frac {sqrt {3}}{4}}}

    Area=62.3524{displaystyle {text{Area}}={frac {62.352}{4}}}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 14

Schritt 5. Teilen Sie das Produkt durch 4

Dadurch erhalten Sie die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten.

  • Zum Beispiel:

    Fläche=62.3524{displaystyle {text{Fläche}}={frac {62.352}{4}}}

    Area=15.588{displaystyle {text{Area}}=15.588}

    So, the area of an equilateral triangle with sides 6 cm long is about 15.59 square centimeters.

Method 4 of 4: Using Trigonometry

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 15

Schritt 1. Ermitteln Sie die Länge zweier benachbarter Seiten und den eingeschlossenen Winkel

Benachbarte Seiten sind zwei Seiten eines Dreiecks, die sich an einem Scheitelpunkt treffen. Der eingeschlossene Winkel ist der Winkel zwischen diesen beiden Seiten.

Zum Beispiel könnten Sie ein Dreieck mit zwei benachbarten Seiten von 150 cm und 231 cm Länge haben. Der Winkel zwischen ihnen beträgt 123 Grad

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 16

Schritt 2. Stellen Sie die Trigonometrieformel für die Fläche eines Dreiecks auf

Die Formel lautet Fläche=bc2sin⁡A{displaystyle {text{Fläche}}={frac {bc}{2}}\sin A}

, where b{displaystyle b}

and c{displaystyle c}

are the adjacent sides of the triangle, and A{displaystyle A}

is the angle between them.

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 17

Schritt 3. Setzen Sie die Seitenlängen in die Formel ein

Stellen Sie sicher, dass Sie die Variablen b{displaystyle b} ersetzen

and c{displaystyle c}

. Multiply their values, then divide by 2.

  • For example:

    Area=bc2sin⁡A{displaystyle {text{Area}}={frac {bc}{2}}\sin A}

    Area=(150)(231)2sin⁡A{displaystyle {text{Area}}={frac {(150)(231)}{2}}\sin A}

    Area=(34, 650)2sin⁡A{displaystyle {text{Area}}={frac {(34, 650)}{2}}\sin A}

    Area=17, 325sin⁡A{displaystyle {text{Area}}=17, 325\sin A}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 18

Schritt 4. Setzen Sie den Sinus des Winkels in die Formel ein

Sie können den Sinus mit einem wissenschaftlichen Taschenrechner finden, indem Sie die Winkelmessung eingeben und dann auf die Schaltfläche „SIN“klicken.

  • Der Sinus eines 123-Grad-Winkels ist beispielsweise 0,83867, daher sieht die Formel wie folgt aus:

    Fläche=17, 325sin⁡A{displaystyle {text{Fläche}}=17, 325\sin A}

    Area=17, 325(.83867){displaystyle {text{Area}}=17, 325(.83867)}

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks Schritt 19

Schritt 5. Multiplizieren Sie die beiden Werte

Dadurch erhalten Sie die Fläche des Dreiecks in Quadrateinheiten.

  • Zum Beispiel:

    Fläche=17, 325(.83867){displaystyle {text{Fläche}}=17, 325(.83867)}

    Area=14, 529.96{displaystyle {text{Area}}=14, 529.96}

    {text{Bereich}}=14, 529.96 />
<p>.<br />Die Fläche des Dreiecks beträgt also etwa 14.530 Quadratzentimeter.</li>
</ul>
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