Verhältnisse sind mathematische Ausdrücke, die zwei oder mehr Zahlen vergleichen. Sie können absolute Mengen und Beträge vergleichen oder zum Vergleich von Teilen eines größeren Ganzen verwendet werden. Verhältnisse können auf verschiedene Weise berechnet und geschrieben werden, aber die Prinzipien, die die Verwendung von Verhältnissen leiten, sind für alle universell.
Schritte
Übungsprobleme
Berechnen von Verhältnissen Übungsaufgaben
Berechnen von Verhältnissen Übungsaufgaben ANTWORTSCHLÜSSEL
Teil 1 von 3: Verhältnisse verstehen
Schritt 1. Seien Sie sich bewusst, wie Verhältnisse verwendet werden
Verhältnisse werden sowohl im akademischen Umfeld als auch in der realen Welt verwendet, um mehrere Beträge oder Mengen miteinander zu vergleichen. Die einfachsten Verhältnisse vergleichen nur zwei Werte, aber auch Verhältnisse, die drei oder mehr Werte vergleichen, sind möglich. In allen Situationen, in denen zwei oder mehr verschiedene Zahlen oder Mengen verglichen werden, sind Verhältnisse anwendbar. Indem sie Mengen in Relation zueinander beschreiben, erklären sie, wie chemische Formeln dupliziert oder Rezepte in der Küche erweitert werden können. Nachdem Sie sie verstanden haben, werden Sie für den Rest Ihres Lebens Kennzahlen verwenden.
Schritt 2. Erfahren Sie, was ein Verhältnis bedeutet
Wie oben erwähnt, zeigen Verhältnisse die Menge von mindestens zwei Gegenständen im Verhältnis zueinander. Wenn ein Kuchen beispielsweise zwei Tassen Mehl und eine Tasse Zucker enthält, würde man sagen, dass das Verhältnis von Mehl zu Zucker 2 zu 1 beträgt.
Verhältnisse können verwendet werden, um die Beziehung zwischen beliebigen Mengen aufzuzeigen, auch wenn eine nicht direkt mit der anderen verknüpft ist (wie in einem Rezept). Wenn zum Beispiel fünf Mädchen und zehn Jungen in einer Klasse sind, beträgt das Verhältnis von Mädchen zu Jungen 5 zu 10. Keine Menge ist von der anderen abhängig oder an sie gebunden und würde sich ändern, wenn jemand weggeht oder neue Schüler hinzukommen ratio vergleicht lediglich die Mengen
Schritt 3. Beachten Sie die verschiedenen Arten, wie Verhältnisse ausgedrückt werden
Verhältnisse können mit Worten ausgeschrieben oder mit mathematischen Symbolen dargestellt werden.
- Sie werden häufig Verhältnisse sehen, die durch Wörter dargestellt werden (wie oben). Da sie so häufig und auf so unterschiedliche Weise verwendet werden, ist dies möglicherweise die häufigste Form des Verhältnisses, die Sie sehen werden, wenn Sie außerhalb der mathematischen oder wissenschaftlichen Bereiche arbeiten.
- Verhältnisse werden häufig mit einem Doppelpunkt ausgedrückt. Wenn Sie zwei Zahlen in einem Verhältnis vergleichen, verwenden Sie einen Doppelpunkt (wie in 7: 13). Wenn Sie mehr als zwei Zahlen vergleichen, setzen Sie nacheinander einen Doppelpunkt zwischen jeden Zahlensatz (wie in 10: 2: 23). In unserem Klassenzimmerbeispiel könnten wir die Anzahl der Jungen mit der Anzahl der Mädchen mit dem Verhältnis 5 Mädchen: 10 Jungen vergleichen. Wir können das Verhältnis einfach als 5: 10 ausdrücken.
- Verhältnisse werden manchmal auch in Bruchnotation ausgedrückt. Im Falle des Klassenzimmers würden die 5 Mädchen und 10 Jungen einfach als 5/10 angezeigt. Das heißt, es sollte nicht wie ein Bruch vorgelesen werden, und Sie müssen bedenken, dass die Zahlen keinen Teil eines Ganzen darstellen.
Teil 2 von 3: Verwenden von Verhältnissen
Schritt 1. Reduzieren Sie ein Verhältnis auf seine einfachste Form
Verhältnisse können wie Brüche reduziert und vereinfacht werden, indem alle gemeinsamen Faktoren der Terme im Verhältnis entfernt werden. Um ein Verhältnis zu reduzieren, dividieren Sie alle Terme in dem Verhältnis durch die gemeinsamen Faktoren, die sie teilen, bis kein gemeinsamer Faktor mehr existiert. Dabei ist es jedoch wichtig, die ursprünglichen Mengen, die zu der Ratio überhaupt geführt haben, nicht aus den Augen zu verlieren.
- Im obigen Klassenzimmerbeispiel, 5 Mädchen zu 10 Jungen (5: 10), haben beide Seiten des Verhältnisses einen Faktor von 5. Teilen Sie beide Seiten durch 5 (der größte gemeinsame Faktor), um 1 Mädchen zu 2 Jungen (oder 1: 2). Wir sollten jedoch auch bei diesem reduzierten Verhältnis die Originalmengen im Auge behalten. In der Klasse sind nicht insgesamt 3 Schüler, sondern 15. Das reduzierte Verhältnis vergleicht nur das Verhältnis zwischen der Anzahl der Jungen und Mädchen. Auf jedes Mädchen kommen 2 Jungen, nicht genau 2 Jungen und 1 Mädchen.
- Einige Verhältnisse können nicht reduziert werden. Zum Beispiel kann 3: 56 nicht reduziert werden, weil die beiden Zahlen keine gemeinsamen Faktoren haben - 3 ist eine Primzahl und 56 ist nicht durch 3 teilbar.
Schritt 2. Verwenden Sie Multiplikation oder Division, um Verhältnisse zu "skalieren"
Eine übliche Art von Problem, bei dem Verhältnisse verwendet werden, kann die Verwendung von Verhältnissen beinhalten, um die beiden Zahlen im Verhältnis zueinander nach oben oder unten zu skalieren. Das Multiplizieren oder Dividieren aller Terme in einem Verhältnis mit derselben Zahl erzeugt ein Verhältnis mit den gleichen Proportionen wie das Original. Um Ihr Verhältnis zu skalieren, multiplizieren oder dividieren Sie das Verhältnis mit dem Skalierungsfaktor.
- Zum Beispiel muss ein Bäcker die Größe eines Kuchenrezepts verdreifachen. Wenn das normale Verhältnis von Mehl zu Zucker 2 zu 1 (2: 1) beträgt, müssen beide Zahlen um den Faktor drei erhöht werden. Die entsprechenden Mengen für das Rezept sind jetzt 6 Tassen Mehl auf 3 Tassen Zucker (6: 3).
- Der gleiche Vorgang kann umgekehrt werden. Wenn der Bäcker nur die Hälfte des normalen Rezepts benötigt, können beide Mengen mit 1/2 multipliziert (oder durch zwei geteilt) werden. Das Ergebnis wäre 1 Tasse Mehl auf 1/2 (0,5) Tasse Zucker.
Schritt 3. Finden Sie unbekannte Variablen, wenn Sie zwei äquivalente Verhältnisse erhalten
Eine andere häufige Art von Problem, das Verhältnisse beinhaltet, fordert Sie auf, eine unbekannte Variable in einem Verhältnis zu finden, wobei die andere Zahl in diesem Verhältnis und ein zweites Verhältnis, das dem ersten entspricht, gegeben ist. Das Prinzip der Kreuzmultiplikation macht die Lösung dieser Probleme ziemlich einfach. Schreiben Sie jedes Verhältnis in seiner Bruchform, dann setzen Sie die beiden Verhältnisse gleich und kreuzen Sie multiplizieren, um zu lösen.
Nehmen wir zum Beispiel an, wir haben eine kleine Gruppe von Schülern mit 2 Jungen und 5 Mädchen. Wenn wir dieses Verhältnis von Jungen zu Mädchen beibehalten würden, wie viele Jungen würden in einer Klasse mit 20 Mädchen sein? Um das zu lösen, machen wir zunächst zwei Verhältnisse, eines mit unseren unbekannten Variablen: 2 Jungen: 5 Mädchen = x Jungen: 20 Mädchen. Wenn wir diese Verhältnisse in ihre Bruchformen umwandeln, erhalten wir 2/5 und x/20. Wenn Sie kreuzen, multiplizieren Sie mit 5x=40, und Sie können lösen, indem Sie beide Zahlen durch 5 teilen. Die endgültige Lösung ist x=8
EXPERTENTIPP
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco
Look at the order of terms to figure out the numerator and denominator in a word problem
The first term is usually the numerator, and the second is usually the denominator. For example, if a problem asks for the ratio of the length of an item to its width, the length will be the numerator, and width will be the denominator.
Part 3 of 3: Catching Mistakes
Schritt 1. Vermeiden Sie Addition oder Subtraktion in Verhältnis-Wortaufgaben
Viele Wortprobleme sehen ungefähr so aus: "Ein Rezept verlangt 4 Kartoffeln und 5 Karotten. Wenn Sie stattdessen 8 Kartoffeln verwenden möchten, wie viele Karotten benötigen Sie, um das Verhältnis gleich zu halten?" Viele Schüler versuchen, von jeder Menge die gleiche Menge hinzuzufügen. Sie müssen tatsächlich Multiplikation und nicht Addition verwenden, um das Verhältnis gleich zu halten. Hier ist ein Beispiel für das Falsche und Richtige, um dieses Beispiel zu lösen:
- Falsche Methode: "8 - 4 = 4, also habe ich dem Rezept 4 Kartoffeln hinzugefügt. Das heißt, ich sollte die 5 Karotten nehmen und auch 4 dazugeben … warte! So funktionieren Verhältnisse nicht. Ich versuche es noch einmal."
- Richtige Methode: "8 ÷ 4 = 2, also habe ich die Anzahl der Kartoffeln mit 2 multipliziert. Das heißt, ich sollte auch die 5 Karotten mit 2 multiplizieren. 5 x 2 = 10, also möchte ich im neuen Rezept insgesamt 10 Karotten haben."
Schritt 2. Konvertieren Sie in die gleichen Einheiten
Einige Wortprobleme werden knifflig, wenn Sie zwischendurch zu einer anderen Einheit wechseln. Konvertieren Sie in dieselbe Einheit, bevor Sie das Verhältnis ermitteln. Hier ist ein Beispielproblem und eine Lösung:
- Ein Drache hat 500 Gramm Gold und 10 Kilogramm Silber. Wie ist das Verhältnis von Gold zu Silber im Drachenhort?
-
Gramm und Kilogramm sind nicht die gleiche Einheit, also müssen wir umrechnen. 1 Kilogramm = 1.000 Gramm, also 10 Kilogramm = 10 Kilogramm x 1.000 Gramm1 Kilogramm{displaystyle {frac {1.000 Gramm}{1Kilogramm}}}
= 10 x 1, 000 grams = 10, 000 grams.
- The dragon has 500 grams of gold and 10, 000 grams of silver.
- The ratio of gold to silver is 500gramsGold10, 000gramsSilver=5100=120{displaystyle {frac {500gramsGold}{10, 000gramsSilver}}={frac {5}{100}}={frac {1}{20}}}
Schritt 3. Schreiben Sie Ihre Einheiten in das Problem
Bei Ratio-Wortaufgaben ist es viel einfacher, Fehler zu erkennen, wenn Sie die Einheiten nach jedem Wert schreiben. Denken Sie daran, dass die gleiche Einheit am oberen und unteren Rand eines Bruchs annulliert wird. Nachdem Sie so viel wie möglich gestrichen haben, sollten Sie am Ende die richtigen Einheiten für Ihre Antwort haben.
- Beispielaufgabe: Wenn Sie sechs Kisten haben und in drei Kisten neun Murmeln, wie viele Murmeln haben Sie dann?
-
Falsche Methode: 6boxes∗3boxes9marbles=…{displaystyle 6boxes*{frac {3boxes}{9marbles}}=…}
Warte, nichts wird aufgehoben, also wäre meine Antwort"
-
Richtige Methode:
6boxes∗9marbles3boxes={displaystyle 6boxes*{frac {9marbles}{3boxes}}=}
6boxes∗3marbles1box={displaystyle 6boxes*{frac {3marbles}{1box}}=}
6boxes∗3marbles1box={displaystyle {frac {6boxes*3marbles}{1box}}=}
6∗3marbles1={displaystyle {frac {6*3marbles}{1}}=}
18 marbles.
EXPERT TIP
Grace Imson, MA
Math Instructor, City College of San Francisco Grace Imson is a math teacher with over 40 years of teaching experience. Grace is currently a math instructor at the City College of San Francisco and was previously in the Math Department at Saint Louis University. She has taught math at the elementary, middle, high school, and college levels. She has an MA in Education, specializing in Administration and Supervision from Saint Louis University.
