Der Definitionsbereich einer Funktion ist die Menge von Zahlen, die in eine gegebene Funktion eingehen können. Mit anderen Worten, es ist die Menge von x-Werten, die Sie in eine beliebige Gleichung einsetzen können. Die Menge der möglichen y-Werte wird als Bereich bezeichnet. Wenn Sie wissen möchten, wie Sie die Domäne einer Funktion in einer Vielzahl von Situationen finden, befolgen Sie einfach diese Schritte.
Schritte
Methode 1 von 6: Erlernen der Grundlagen
Schritt 1. Lernen Sie die Definition der Domäne
Die Domäne ist definiert als die Menge von Eingabewerten, für die die Funktion einen Ausgabewert erzeugt. Mit anderen Worten, die Domäne ist der vollständige Satz von x-Werten, die in eine Funktion gesteckt werden können, um einen y-Wert zu erzeugen.
Schritt 2. Erfahren Sie, wie Sie die Domäne einer Vielzahl von Funktionen finden
Die Art der Funktion bestimmt die beste Methode zum Auffinden einer Domäne. Hier sind die Grundlagen, die Sie zu jedem Funktionstyp wissen müssen, die im nächsten Abschnitt erläutert werden:
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Eine Polynomfunktion ohne Reste oder Variablen im Nenner.
Für diesen Funktionstyp sind alle reellen Zahlen der Bereich.
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Eine Funktion mit einem Bruch mit einer Variablen im Nenner.
Um den Bereich dieser Art von Funktion zu ermitteln, setzen Sie den unteren Wert gleich Null und schließen Sie den x-Wert aus, den Sie beim Lösen der Gleichung finden.
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Eine Funktion mit einer Variablen innerhalb eines Wurzelzeichens.
Um den Definitionsbereich dieses Funktionstyps zu finden, setzen Sie einfach die Terme innerhalb des Wurzelzeichens auf >0 und lösen Sie die Werte auf, die für x funktionieren.
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Eine Funktion, die den natürlichen Logarithmus (ln) verwendet.
Setzen Sie einfach die Terme in den Klammern auf >0 und lösen Sie.
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Ein Graph.
Sehen Sie sich das Diagramm an, um zu sehen, welche Werte für x funktionieren.
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Eine Relation.
Dies ist eine Liste von x- und y-Koordinaten. Ihre Domain ist einfach eine Liste von x-Koordinaten.
Schritt 3. Geben Sie die Domäne korrekt an
Die richtige Schreibweise für die Domäne ist leicht zu erlernen, aber es ist wichtig, dass Sie sie richtig schreiben, um die richtige Antwort auszudrücken und bei Aufgaben und Tests die volle Punktzahl zu erhalten. Hier sind ein paar Dinge, die Sie wissen müssen, um die Domäne einer Funktion zu schreiben:
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Das Format zum Ausdrücken der Domäne ist eine offene Klammer/Klammer, gefolgt von den 2 Endpunkten der Domäne, getrennt durch ein Komma, gefolgt von einer geschlossenen Klammer/Klammer.
Zum Beispiel [-1, 5). Dies bedeutet, dass die Domäne von -1 bis 5 geht
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Verwenden Sie Klammern wie [und], um anzugeben, dass eine Zahl in der Domäne enthalten ist.
Im Beispiel [-1, 5) enthält die Domäne also -1
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Verwenden Sie Klammern wie (und), um anzugeben, dass eine Zahl nicht in der Domäne enthalten ist.
Im Beispiel [-1, 5) ist also 5 nicht in der Domäne enthalten. Die Domain hört willkürlich kurz bei 5 auf, d.h. 4.999…
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Verwenden Sie „U“(bedeutet „Vereinigung“), um Teile der Domäne zu verbinden, die durch eine Lücke getrennt sind.'
- Zum Beispiel [-1, 5) U (5, 10). Dies bedeutet, dass die Domäne von -1 bis einschließlich 10 reicht, aber dass eine Lücke in der Domäne bei 5 besteht. Dies könnte das Ergebnis von z B. eine Funktion mit „x - 5“im Nenner.
- Sie können beliebig viele U-Symbole verwenden, wenn die Domäne mehrere Lücken enthält.
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Verwenden Sie Unendlichkeitszeichen und negative Unendlichkeitszeichen, um auszudrücken, dass der Bereich unendlich in beide Richtungen weitergeht.
Verwenden Sie bei Unendlichkeitssymbolen immer (), nicht
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Beachten Sie, dass diese Notation je nach Ihrem Wohnort unterschiedlich sein kann.
- Die oben beschriebenen Regeln gelten für Großbritannien und die USA.
- Einige Regionen verwenden Pfeile anstelle von Unendlichkeitszeichen, um auszudrücken, dass die Domäne in beide Richtungen unendlich weitergeht.
- Die Verwendung von Klammern variiert stark zwischen den Regionen. Belgien verwendet beispielsweise umgekehrte eckige Klammern anstelle von runden.
Methode 2 von 6: Den Definitionsbereich einer Funktion mit einem Bruch ermitteln
Schritt 1. Schreiben Sie das Problem
Angenommen, Sie arbeiten mit folgendem Problem:
- f(x) = 2x/(x2 - 4)
Schritt 2. Setzen Sie den Nenner für Brüche mit einer Variablen im Nenner gleich Null
Beim Ermitteln des Definitionsbereichs einer Bruchfunktion müssen Sie alle x-Werte ausschließen, die den Nenner gleich Null machen, da Sie niemals durch Null teilen können. Schreiben Sie also den Nenner als Gleichung und setzen Sie ihn gleich 0. So machen Sie es:
- f(x) = 2x/(x2 - 4)
- x2 - 4 = 0
- (x - 2)(x + 2) = 0
- x (2, - 2)
Schritt 3. Geben Sie die Domäne an
So machen Sie es:
x = alle reellen Zahlen außer 2 und -2
Methode 3 von 6: Den Bereich einer Funktion mit einer Quadratwurzel ermitteln
Schritt 1. Schreiben Sie das Problem
Angenommen, Sie arbeiten mit dem folgenden Problem: Y =√(x-7)
Schritt 2. Legen Sie die Terme im Radicand so fest, dass sie größer oder gleich 0 sind
Sie können die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht ziehen, aber Sie können die Quadratwurzel von 0 ziehen. Setzen Sie also die Terme innerhalb des Radikands auf größer oder gleich 0. Beachten Sie, dass dies nicht nur für Quadratwurzeln gilt, sondern für alle geradzahligen Wurzeln. Dies gilt jedoch nicht für ungeradzahlige Wurzeln, da es völlig in Ordnung ist, Negative unter ungeraden Wurzeln zu haben. Hier ist wie:
x-7 ≧ 0
Schritt 3. Isolieren Sie die Variable
Um x auf der linken Seite der Gleichung zu isolieren, addieren Sie einfach 7 zu beiden Seiten, sodass Sie Folgendes haben:
x ≧ 7
Schritt 4. Geben Sie die Domäne richtig an
So würdest du es schreiben:
D = [7, ∞)
Schritt 5. Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion mit einer Quadratwurzel, wenn es mehrere Lösungen gibt
Angenommen, Sie arbeiten mit der folgenden Funktion: Y = 1/√(̅x2 -4). Wenn Sie den Nenner faktorisieren und gleich Null setzen, erhalten Sie x ≠ (2, - 2). Hier geht es von dort aus:
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Überprüfen Sie nun den Bereich unter -2 (indem Sie beispielsweise -3 einstecken), um zu sehen, ob die Zahlen unter -2 in den Nenner gesteckt werden können, um eine Zahl größer als 0 zu erhalten. Das tun sie.
- (-3)2 - 4 = 5
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Überprüfen Sie nun den Bereich zwischen -2 und 2. Wählen Sie beispielsweise 0.
- 02 - 4 = -4, also wissen Sie, dass die Zahlen zwischen -2 und 2 nicht funktionieren.
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Versuchen Sie es jetzt mit einer Zahl über 2, beispielsweise +3.
- 32 - 4 = 5, also die Zahlen über 2 funktionieren.
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Schreiben Sie die Domain, wenn Sie fertig sind. So schreiben Sie die Domain:
D = (-∞, -2) U (2, ∞)
Methode 4 von 6: Finden der Domäne einer Funktion mit einem natürlichen Logarithmus
Schritt 1. Schreiben Sie das Problem
Angenommen, Sie arbeiten mit diesem:
f(x) = ln(x-8)
Schritt 2. Setzen Sie die Begriffe in Klammern auf größer als Null
Der natürliche Logarithmus muss eine positive Zahl sein, also setzen Sie die Terme in den Klammern auf größer als Null, um dies zu erreichen. Hier ist, was Sie tun:
x - 8 > 0
Schritt 3. Lösen
Isolieren Sie einfach die Variable x, indem Sie auf beiden Seiten 8 hinzufügen. Hier ist wie:
- x - 8 + 8 > 0 + 8
- x > 8
Schritt 4. Geben Sie die Domäne an
Zeigen Sie, dass der Definitionsbereich für diese Gleichung allen Zahlen größer als 8 bis ins Unendliche entspricht. Hier ist wie:
D = (8, ∞)
Methode 5 von 6: Den Definitionsbereich einer Funktion mithilfe eines Graphen ermitteln
Schritt 1. Sehen Sie sich das Diagramm an
Schritt 2. Überprüfen Sie die x-Werte, die im Diagramm enthalten sind
Das ist vielleicht leichter gesagt als getan, aber hier sind einige Tipps:
- Eine Linie. Wenn Sie im Graphen eine nicht vertikale Linie sehen, die sich in beide Richtungen bis ins Unendliche erstreckt, werden schließlich alle Versionen von x abgedeckt, sodass der Definitionsbereich allen reellen Zahlen entspricht.
- Eine normale Parabel. Wenn Sie eine nach oben oder unten gerichtete Parabel sehen, dann ja, die Domäne besteht aus allen reellen Zahlen, da alle Zahlen auf der x-Achse schließlich abgedeckt werden.
- Eine seitliche Parabel. Wenn Sie nun eine Parabel mit einer Ecke bei (4, 0) haben, die sich unendlich nach rechts erstreckt, dann ist Ihr Definitionsbereich D = [4, ∞)
Schritt 3. Geben Sie die Domäne an
Geben Sie einfach die Domäne basierend auf dem Diagrammtyp an, mit dem Sie arbeiten. Wenn Sie sich nicht sicher sind und die Geradengleichung kennen, setzen Sie die x-Koordinaten wieder in die Funktion ein, um sie zu überprüfen.
Methode 6 von 6: Den Bereich einer Funktion mithilfe einer Relation ermitteln
Schritt 1. Schreiben Sie die Beziehung auf
Eine Relation ist einfach eine Menge geordneter Paare. Angenommen, Sie arbeiten mit den folgenden Koordinaten: {(1, 3), (2, 4), (5, 7)}
Schritt 2. Notieren Sie die x-Koordinaten
Sie sind: 1, 2, 5.
Schritt 3. Geben Sie die Domäne an
D = {1, 2, 5}
Schritt 4. Stellen Sie sicher, dass die Beziehung eine Funktion ist
Damit eine Relation eine Funktion ist, sollten Sie jedes Mal, wenn Sie eine numerische x-Koordinate eingeben, dieselbe y-Koordinate erhalten. Wenn Sie also 3 für x einsetzen, sollten Sie immer 6 für y erhalten und so weiter. Die folgende Beziehung ist keine Funktion, da die x-Koordinate 1 zwei verschiedene entsprechende Werte von y, 4 und 5 hat. {(1, 4), (3, 5), (1, 5)}.
