So schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert

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So schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert
So schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert
Anonim

Exponentielle Funktionen können die Änderungsrate vieler Situationen modellieren, einschließlich Bevölkerungswachstum, radioaktiver Zerfall, Bakterienwachstum, Zinseszins und vieles mehr. Führen Sie diese Schritte aus, um eine Exponentialgleichung zu schreiben, wenn Sie die Geschwindigkeit, mit der die Funktion wächst oder abfällt, und den Anfangswert der Gruppe kennen.

Schritte

Methode 1 von 2: Verwenden der Rate als Basis

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 1

Schritt 1. Betrachten Sie ein Beispiel

Angenommen, ein Bankkonto wird mit einer Einlage von 1.000 USD eröffnet und der Zinssatz beträgt 3% jährlich. Finden Sie eine Exponentialgleichung, die diese Funktion modelliert.

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 2

Schritt 2. Kennen Sie die Grundform

Die Form für eine Exponentialgleichung ist f(t)=P0(1+r)NS wo P0 ist der Anfangswert, t ist die Zeitvariable, r ist die Rate und h ist die Zahl, die benötigt wird, um sicherzustellen, dass die Einheiten von t mit der Rate übereinstimmen.

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 3

Schritt 3. Setzen Sie den Anfangswert für P. ein und der Preis für r. Sie haben f(t)=1, 000(1,03)NS.

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 4

Schritt 4. Finden Sie h

Denken Sie über Ihre Gleichung nach. Jedes Jahr erhöht sich das Geld um 3%, also alle 12 Monate steigt das Geld um 3%. Da Sie t in Monaten angeben müssen, müssen Sie t durch 12 teilen, also h=12. Ihre Gleichung ist f(t)=1, 000(1,03)t/12. Wenn die Einheiten für die Rate und die t-Inkremente gleich sind, ist h immer 1.

Methode 2 von 2: "e" als Basis verwenden

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 5

Schritt 1. Verstehen Sie, was e ist

Wenn Sie den Wert e als Basis verwenden, verwenden Sie die "natürliche Basis". Mit der natürlichen Basis können Sie die kontinuierliche Wachstumsrate direkt aus der Gleichung ziehen.

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 6

Schritt 2. Betrachten Sie ein Beispiel

Angenommen, eine 500-Gramm-Probe eines Kohlenstoffisotops hat eine Halbwertszeit von 50 Jahren (die Halbwertszeit ist die Zeitspanne, in der das Material um 50% zerfällt).

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 7

Schritt 3. Kennen Sie die Grundform

Die Form für eine Exponentialgleichung ist f(t)=aekt wobei a der Anfangswert ist, e die Basis ist, k die kontinuierliche Wachstumsrate ist und t die Zeitvariable ist.

Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 8

Schritt 4. Geben Sie den Anfangswert ein

Der einzige Wert, den Sie in der Gleichung benötigen, ist die anfängliche Wachstumsrate. Also setze es für a ein, um f(t)=500e. zu erhaltenkt Schreiben Sie eine Exponentialfunktion mit einer Rate und einem Anfangswert Schritt 9

Schritt 5. Finden Sie die kontinuierliche Wachstumsrate

Die kontinuierliche Wachstumsrate gibt an, wie schnell sich der Graph zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert. Sie wissen, dass die Probe in 50 Jahren auf 250 Gramm zerfällt. Das kann als ein Punkt auf dem Graphen betrachtet werden, den Sie einfügen können. t ist also 50. Setzen Sie ihn ein, um f(50)=500e. zu erhalten50k. Sie wissen auch, dass f(50)=250 ist, also ersetzen Sie f(50) auf der linken Seite durch 250, um die Exponentialgleichung 250=500e. zu erhalten50k. Um nun die Gleichung zu lösen, dividiere zuerst beide Seiten durch 500, um zu erhalten: 1/2=e50k. Dann nimm den natürlichen Logarithmus beider Seiten und erhalte: ln(1/2)=ln(e50k. Verwenden Sie die Eigenschaften von Logarithmen, um den Exponenten aus dem Argument des natürlichen Logarithmus herauszunehmen und mit dem Logarithmus zu multiplizieren. Daraus ergibt sich ln(1/2)=50k(ln(e)). Denken Sie daran, dass ln dasselbe ist wie loge und dass die Eigenschaften von Logarithmen besagen, dass der Wert 1 ist, wenn die Basis und das Argument des Logarithmus gleich sind. Daher ist ln(e)=1. Die Gleichung vereinfacht sich also zu ln(1/2)=50k, und wenn Sie durch 50 dividieren, lernen Sie, dass k=(ln(1/2))/50 ist. Verwenden Sie Ihren Taschenrechner, um die dezimale Näherung von k zu ungefähr -0,1386 zu finden. Beachten Sie, dass dieser Wert negativ ist. Wenn die kontinuierliche Wachstumsrate negativ ist, haben Sie einen exponentiellen Abfall, ist sie positiv, haben Sie ein exponentielles Wachstum.

Finden Sie die Domäne einer Funktion Schritt 6

Schritt 6. Setzen Sie den k-Wert ein

Deine Gleichung ist 500e-.01386t.

Tipps

  • Vielleicht möchten Sie Ihren k-Wert in Ihrem Taschenrechner speichern, damit Sie Ihre Werte genauer berechnen können als mit einer dezimalen Näherung. X ist eine leicht zugängliche Variable, da Sie nicht "Alpha" drücken müssen, um dorthin zu gelangen, aber wenn Sie die Gleichung grafisch darstellen möchten, verwenden Sie eine als Konstante bezeichnete Variable oder Sie geben zusätzliche ein Variablen.
  • Sie werden schnell lernen, wann Sie jede Methode anwenden müssen. Normalerweise sind Probleme mit der ersten Methode einfacher, aber es gibt Zeiten, in denen Sie wissen, dass die Verwendung der natürlichen Basis Ihre Berechnungen später einfacher macht.

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