So ermitteln Sie die Fläche eines Quadrats anhand der Länge seiner Diagonalen

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So ermitteln Sie die Fläche eines Quadrats anhand der Länge seiner Diagonalen
So ermitteln Sie die Fläche eines Quadrats anhand der Länge seiner Diagonalen
Anonim

Die gebräuchlichste Formel für die Fläche eines Quadrats ist einfach: Es ist die Seitenlänge zum Quadrat oder s2. Aber manchmal kennen Sie nur die Länge der Diagonale des Quadrats, die zwischen gegenüberliegenden Scheitelpunkten verläuft. Wenn Sie rechtwinklige Dreiecke studiert haben, können Sie eine neue Flächenformel finden, die diese Diagonale als einzige Variable verwendet.

Schritte

Teil 1 von 2: Das Gebiet aus der Diagonalen finden

Bestimmen Sie die Fläche eines Quadrats mithilfe der Länge seines Diagonalschritts 3

Schritt 1. Zeichnen Sie Ihr Quadrat

Ein Quadrat hat vier gleiche Seiten. Nehmen wir an, jeder hat eine Länge von "s".

Bestimmen Sie die Fläche eines Quadrats mithilfe der Länge seines Diagonalschritts 4

Schritt 2. Überprüfen Sie die Grundformel für die Fläche eines Quadrats

Die Fläche eines Quadrats ist gleich seiner Länge mal seiner Breite. Da jede Seite s ist, lautet die Formel Fläche = s x s = s2. Dies wird später nützlich sein.

Finden Sie die Fläche eines Quadrats mithilfe der Länge seines Diagonalschritts 5

Schritt 3. Verbinden Sie zwei gegenüberliegende Ecken zu einer Diagonale

Das Maß dieser Diagonale sei D Einheiten. Diese Diagonale teilt das Quadrat in zwei rechtwinklige Dreiecke.

Ermitteln Sie die Fläche eines Quadrats anhand der Länge seines Diagonalschritts 6

Schritt 4. Wenden Sie den Satz des Pythagoras auf eines der Dreiecke an

Der Satz des Pythagoras ist eine Formel zum Finden der Hypotenuse (längste Seite) eines rechtwinkligen Dreiecks: (Seite eins)2 + (Seite zwei)2 = (Hypotonus)2, oder a2+b2=c2{displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}

. Now that the square is divided in half, you can use this formula on one of the right triangles:

  • The two shorter sides of the triangle are the sides of the square: each one has a length of s.
  • The hypotenuse is the diagonal of the square, d.
  • s2+s2=d2{displaystyle s^{2}+s^{2}=d^{2}}

Ermitteln Sie die Fläche eines Quadrats anhand der Länge seiner Diagonalstufe 7

Schritt 5. Ordnen Sie die Gleichung so an, dass s2 ist auf einer Seite.

Denken Sie daran, dass wir bereits wissen, dass die Fläche des Quadrats gleich s. ist2. Wenn du es bekommen kannst2 allein auf der Seite haben Sie eine neue Gleichung für die Fläche:

  • s2+s2=d2{displaystyle s^{2}+s^{2}=d^{2}}

  • Simplify: 2s2=d2{displaystyle 2s^{2}=d^{2}}

  • Divide both sides by two: s2=d22{displaystyle s^{2}={frac {d^{2}}{2}}}

  • Area = s2=d22{displaystyle s^{2}={frac {d^{2}}{2}}}

  • Area = d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}

Bestimmen Sie die Fläche eines Quadrats mithilfe der Länge seines diagonalen Schrittes 9

Schritt 6. Verwenden Sie diese Formel auf einem Beispielquadrat

Diese Schritte haben bewiesen, dass die Formel Fläche = d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}

works for all squares. Just plug in the length of the diagonal for d and solve.

  • For example, let's say a square has a diagonal that measures 10 cm.
  • Area = 1022{displaystyle {frac {10^{2}}{2}}}

    = 1002{displaystyle {frac {100}{2}}}

    = 50 square centimeters.

Part 2 of 2: Additional Info

Step 1. Find the diagonal from the length of a side

The Pythagorean theorem for a square with side s and diagonal d gives you the formula 2s2=d2{displaystyle 2s^{2}=d^{2}}

. Solve for d if you know the side lengths and want to find the length of the diagonal:

  • 2s2=d2{displaystyle 2s^{2}=d^{2}}

    2s2=d2{displaystyle {sqrt {2s^{2}}}={sqrt {d^{2}}}}

    s2=d{displaystyle s{sqrt {2}}=d}

  • For example, if a square has sides of 7 inches, its diagonal d = 7√2 inches, or about 9.9 inches.
  • If you don't have a calculator, you can use 1.4 as an estimate for √2.

Step 2. Find the side length from the diagonal

If you are given the diagonal and you know that the diagonal of a square is s2{displaystyle s{sqrt {2}}}

, you can divide both sides by 2{displaystyle {sqrt {2}}}

to get s=d2{displaystyle s={frac {d}{sqrt {2}}}}

  • For example, a square with a diagonal of 10cm has sides with length 102=7.071{displaystyle {frac {10}{sqrt {2}}}=7.071}

    cm.

  • If you need to find both the side length and the area from the diagonal, you can use this formula first, then quickly square the answer to get the area: Area =s2=7.0712=50{displaystyle =s^{2}=7.071^{2}=50}

    square centimeters. This is a bit less accurate, since 2{displaystyle {sqrt {2}}}

    is an irrational number that can lead to rounding errors.

Step 3. Interpret the area formula

The math checks out for the formula Area = d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}

, but is there a way to test this directly? Well, d2{displaystyle d^{2}}

is the area of a second square with the diagonal as a side. Since the full formula is d22{displaystyle {frac {d^{2}}{2}}}

{frac {d^{2}}{2}} />
<p>, können Sie davon ausgehen, dass dieses zweite Quadrat genau die doppelte Fläche des ursprünglichen Quadrats hat. Sie können dies selbst testen:</p>
<ul>
<li>Zeichnen Sie ein Quadrat auf ein Blatt Papier. Achte darauf, dass alle Seiten gleich sind.</li>
<li>Messen Sie die Diagonale. Zeichne ein zweites Quadrat mit diesem Maß als Länge des Quadrats.</li>
<li>Trage eine Kopie deines ersten Quadrats nach, sodass du zwei davon hast. Schneide alle drei Quadrate aus.</li>
<li>Schneide die beiden kleineren Quadrate in beliebige Formen, damit du sie so anordnen kannst, dass sie in das große Quadrat passen. Sie sollten den Raum perfekt ausfüllen und zeigen, dass die Fläche des größeren Quadrats genau doppelt so groß ist wie die des kleineren Quadrats.</li>
</ul>
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Tipps

  • Diese einfache Gleichung wird in vielen Bereichen verwendet, einschließlich Kristallographie, Chemie und Kunst. Sie können damit beispielsweise die Landschaftsfläche berechnen, die Sie bei der Vermessung oder bei der Verwendung der Perspektive in der Fotografie oder Malerei sehen können, indem Sie die zurückgelegte Entfernung messen und sich ein Raster mit dieser Entfernung als Diagonale vorstellen.
  • Wenn Sie eine eher visuelle Herangehensweise an Mathematik bevorzugen oder lernen möchten, wie man Diagramme und Grafiken in der Kunst verwendet, erkunden Sie den spiralförmigen Spin-Partikelpfad oder stöbern Sie in Artikeln in Kategorie:Microsoft Excel-Bilder, Kategorie:Mathematik, Kategorie:Tabellen oder Kategorie: Grafik.
  • Wenn Sie keinen Taschenrechner haben und eine genauere Schätzung für die Quadratwurzel von 2 benötigen, gibt es Möglichkeiten, sie von Hand zu schätzen. Das Newton-Raphson-Verfahren ist ein Beispiel.

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