5 Möglichkeiten zur Berechnung der Halbwertszeit

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5 Möglichkeiten zur Berechnung der Halbwertszeit
5 Möglichkeiten zur Berechnung der Halbwertszeit
Anonim

Die Halbwertszeit eines zerfallenden Stoffes ist die Zeit, die benötigt wird, bis sich die Menge des Stoffes um die Hälfte verringert hat. Es wurde ursprünglich verwendet, um den Zerfall radioaktiver Elemente wie Uran oder Plutonium zu beschreiben, aber es kann für jede Substanz verwendet werden, die mit einer bestimmten oder exponentiellen Rate zerfällt. Sie können die Halbwertszeit jeder Substanz berechnen, indem Sie die Zerfallsrate angeben, die die anfängliche Menge der Substanz und die nach einer gemessenen Zeit verbleibende Menge ist.

Schritte

Methode 1 von 5: Halbwertszeit verstehen

Halbwertszeit berechnen Schritt 1

Schritt 1. Was ist die Halbwertszeit?

Der Begriff „Halbwertszeit“bezeichnet die Zeit, die die Hälfte der Ausgangssubstanz benötigt, um zu zerfallen oder sich zu verändern. Es wird am häufigsten beim radioaktiven Zerfall verwendet, um herauszufinden, wann eine Substanz für den Menschen nicht mehr schädlich ist.

Elemente wie Uran und Plutonium werden am häufigsten unter Berücksichtigung der Halbwertszeit untersucht

Halbwertszeit berechnen Schritt 2

Schritt 2. Beeinflussen Temperatur oder Konzentration die Halbwertszeit?

Die kurze Antwort ist nein. Während chemische Veränderungen manchmal von ihrer Umgebung oder Konzentration beeinflusst werden, hat jedes radioaktive Isotop seine eigene einzigartige Halbwertszeit, die von diesen Veränderungen nicht beeinflusst wird.

Daher können Sie die Halbwertszeit für ein bestimmtes Element berechnen und wissen mit Sicherheit, wie schnell es auf jeden Fall abgebaut wird

Halbwertszeit berechnen Schritt 3

Schritt 3. Kann die Halbwertszeit bei der Kohlenstoffdatierung verwendet werden?

Jawohl! Die Kohlenstoffdatierung oder das Herausfinden, wie alt etwas auf der Grundlage seines Kohlenstoffgehalts ist, ist eine sehr praktische Möglichkeit, die Halbwertszeit zu verwenden. Jedes Lebewesen nimmt zu Lebzeiten Kohlenstoff auf. Wenn es also stirbt, hat es eine bestimmte Menge Kohlenstoff in seinem Körper. Je länger es zerfällt, desto weniger Kohlenstoff ist vorhanden, mit dem der Organismus anhand der Halbwertszeit des Kohlenstoffs datiert werden kann.

Technisch gesehen gibt es 2 Arten von Kohlenstoff: Kohlenstoff-14, der zerfällt, und Kohlenstoff-12, der konstant bleibt

Methode 2 von 5: Lernen der Halbwertszeitgleichung

Halbwertszeit berechnen Schritt 4

Schritt 1. Verstehen Sie den exponentiellen Zerfall

Der exponentielle Zerfall erfolgt in einer allgemeinen Exponentialfunktion f(x)=ax, {displaystyle f(x)=a^{x}, }

where

  • In other words, as x{displaystyle x}

    increases, f(x){displaystyle f(x)}

    decreases and approaches zero. This is exactly the type of relationship we want to describe half-life. In this case, we want a=12, {displaystyle a={frac {1}{2}}, }

    so that we have the relationship f(x+1)=12f(x).{displaystyle f(x+1)={frac {1}{2}}f(x).}

Halbwertszeit berechnen Schritt 5

Schritt 2. Schreiben Sie die Funktion in Bezug auf die Halbwertszeit um

Natürlich hängt unsere Funktion nicht von der generischen Variablen x, {displaystyle x, }

but time t.{displaystyle t.}

  • f(t)=(12)t{displaystyle f(t)=\left({frac {1}{2}}\right)^{t}}

  • Simply replacing the variable doesn't tell us everything, though. We still have to account for the actual half-life, which is, for our purposes, a constant.
  • We could then add the half-life t1/2{displaystyle t_{1/2}}

    into the exponent, but we need to be careful about how we do this. Another property of exponential functions in physics is that the exponent must be dimensionless. Since we know that the amount of substance depends on time, we must then divide by the half-life, which is measured in units of time as well, to obtain a dimensionless quantity.

  • Doing so also implies that t1/2{displaystyle t_{1/2}}

    and t{displaystyle t}

    be measured in the same units as well. As such, we obtain the function below.

  • f(t)=(12)tt1/2{displaystyle f(t)=\left({frac {1}{2}}\right)^{frac {t}{t_{1/2}}}}

Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 6

Schritt 3. Fügen Sie den Anfangsbetrag ein

Natürlich ist unsere Funktion f(t){displaystyle f(t)}

as it stands is only a relative function that measures the amount of substance left after a given time as a percentage of the initial amount. All we need to do is to add the initial quantity N0.{displaystyle N_{0}.}

Now, we have the formula for the half-life of a substance.

  • N(t)=N0(12)tt1/2{displaystyle N(t)=N_{0}\left({frac {1}{2}}\right)^{frac {t}{t_{1/2}}}}

Halbwertszeit berechnen Schritt 7

Schritt 4. Lösen Sie nach der Halbwertszeit auf

Im Prinzip beschreibt die obige Formel alle Variablen, die wir brauchen. Aber nehmen wir an, wir sind auf eine unbekannte radioaktive Substanz gestoßen. Es ist einfach, die Masse vor und nach einer verstrichenen Zeit direkt zu messen, aber nicht ihre Halbwertszeit. Lassen Sie uns also die Halbwertszeit in Bezug auf die anderen gemessenen (bekannten) Variablen ausdrücken. Dadurch wird nichts Neues ausgedrückt; es ist vielmehr eine Frage der Bequemlichkeit. Im Folgenden gehen wir Schritt für Schritt durch den Prozess.

  • Teilen Sie beide Seiten durch den Anfangsbetrag N0.{displaystyle N_{0}.}

    • N(t)N0=(12)tt1/2{displaystyle {frac {N(t)}{N_{0}}}=\left({frac {1}{2}}\right)^{frac {t}{t_{1/2}}}}

  • Take the logarithm, base 12, {displaystyle {frac {1}{2}}, }

    of both sides. This brings down the exponent.

    • log1/2⁡(N(t)N0)=tt1/2{displaystyle \log _{1/2}\left({frac {N(t)}{N_{0}}}\right)={frac {t}{t_{1/2}}}}

  • Multiply both sides by t1/2{displaystyle t_{1/2}}

    and divide both sides by the entire left side to solve for half-life. Since there are logarithms in the final expression, you'll probably need a calculator to solve half-life problems.

    • t1/2=tlog1/2⁡(N(t)N0){displaystyle t_{1/2}={frac {t}{log _{1/2}\left({frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}}

Method 3 of 5: Calculating Half-Life from a Graph

Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 8

Schritt 1. Lesen Sie die ursprüngliche Zählrate bei 0 Tagen ab

Schauen Sie sich Ihr Diagramm an und suchen Sie den Startpunkt oder die 0-Tage-Marke auf der x-Achse. Die 0-Tage-Marke liegt kurz vor dem Zerfall des Materials, also an seinem ursprünglichen Punkt.

In Halbwertszeit-Diagrammen zeigt die x-Achse normalerweise die Zeitachse, während die y-Achse normalerweise die Zerfallsrate zeigt

Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 9

Schritt 2. Gehen Sie die Hälfte der ursprünglichen Zählrate herunter und markieren Sie sie in der Grafik

Beachten Sie ausgehend vom oberen Ende der Kurve die Zählrate auf der y-Achse. Dann dividiere diese Zahl durch 2, um die Zahl auf halbem Weg zu erhalten. Markieren Sie diesen Punkt im Diagramm mit einer horizontalen Linie.

  • Wenn der Startpunkt beispielsweise 1, 640 ist, dividiere 1, 640 / 2, um 820 zu erhalten.
  • Wenn Sie mit einem Semi-Log-Plot arbeiten, dh die Zählrate ist nicht gleichmäßig verteilt, müssen Sie den Logarithmus einer beliebigen Zahl von der vertikalen Achse nehmen.
Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 10

Schritt 3. Zeichnen Sie eine vertikale Linie von der Kurve nach unten

Zeichnen Sie ausgehend von der Mitte, die Sie gerade in der Grafik markiert haben, eine zweite Linie nach unten, bis sie die x-Achse berührt. Hoffentlich berührt die Linie eine leicht lesbare Zahl, die Sie identifizieren können.

Halbwertszeit berechnen Schritt 11

Schritt 4. Lesen Sie die Halbwertszeit ab, wo die Linie die Zeitachse schneidet

Schauen Sie sich den Punkt an, den Ihre Linie berührt hat, und lesen Sie, wo auf der Zeitleiste sie trifft. Sobald Sie den Punkt auf Ihrer Zeitachse identifiziert haben, haben Sie Ihre Halbwertszeit gefunden.

Methode 4 von 5: Verwenden eines Taschenrechners/Computers

Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 12

Schritt 1. Bestimmen Sie 3 der 4 relevanten Werte

Wenn Sie nach der Halbwertszeit auflösen, müssen Sie die Anfangsmenge, die verbleibende Menge und die verstrichene Zeit kennen. Dann können Sie jeden Halbwertszeitrechner online verwenden, um die Halbwertszeit zu bestimmen.

Wenn Sie die Halbwertszeit kennen, aber die Anfangsmenge nicht kennen, können Sie die Halbwertszeit, die verbleibende Menge und die verstrichene Zeit eingeben. Solange Sie 3 der 4 Werte kennen, können Sie einen Halbwertszeitrechner verwenden

Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 13

Schritt 2. Berechnen Sie die Zerfallskonstante mit einem Halbwertszeitrechner

Wenn Sie berechnen möchten, wie alt ein Organismus ist, können Sie die Halbwertszeit und die mittlere Lebensdauer eingeben, um die Zerfallskonstante zu erhalten. Dies ist ein großartiges Werkzeug für die Kohlenstoffdatierung oder die Bestimmung der Lebensdauer eines Organismus.

Wenn Sie die Halbwertszeit nicht kennen, aber die Zerfallskonstante und die mittlere Lebensdauer kennen, können Sie diese stattdessen eingeben. Genau wie bei der Ausgangsgleichung müssen Sie nur 2 der 3 Werte kennen, um den dritten zu erhalten

Halbwertszeit berechnen Schritt 14

Schritt 3. Zeichnen Sie Ihre Halbwertszeitgleichung auf einem Grafikrechner

Wenn Sie Ihre Halbwertszeit-Gleichung kennen und sie grafisch darstellen möchten, öffnen Sie Ihre Y-Plots und geben Sie die Gleichung in Y-1 ein. Klicken Sie dann auf „Graph“, um Ihr Diagramm zu öffnen und das Fenster anzupassen, bis Sie die gesamte Kurve sehen können. Bewegen Sie schließlich Ihren Cursor über und unter den Mittelpunkt des Diagramms, um Ihre Halbwertszeit zu erhalten.

Dies ist eine hilfreiche Visualisierung und kann nützlich sein, wenn Sie nicht die gesamte Gleichungsarbeit erledigen möchten

Methode 5 von 5: Halbwertszeitprobleme und Antwortbeispiele

Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 15

Schritt 1. Problem 1

300 g einer unbekannten radioaktiven Substanz zerfallen nach 180 Sekunden auf 112 g. Was ist die Halbwertszeit dieser Substanz?

  • Lösung:

    wir kennen die Anfangsmenge N0=300 g, {displaystyle N_{0}=300{rm { g}}, }

    final amount N=112 g, {displaystyle N=112{rm { g}}, }

    and elapsed time t=180 s.{displaystyle t=180{rm { s}}.}

  • Recall the half-life formula t1/2=tlog1/2⁡(N(t)N0).{displaystyle t_{1/2}={frac {t}{log _{1/2}\left({frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}}.}

    Half-life is already isolated, so simply substitute the appropriate variables and evaluate.

    • t1/2=180 slog1/2⁡(112 g300 g)≈127 s{displaystyle {begin{aligned}t_{1/2}&={frac {180{rm { s}}}{log _{1/2}\left({frac {112{rm { g}}}{300{rm { g}}}}\right)}}\\&\approx 127{rm { s}}\end{aligned}}}

  • Check to see if the solution makes sense. Since 112 g is less than half of 300 g, at least one half-life must have elapsed. Our answer checks out.
Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 16

Schritt 2. Problem 2

Ein Kernreaktor produziert 20 kg Uran-232. Wenn die Halbwertszeit von Uran-232 etwa 70 Jahre beträgt, wie lange dauert es, bis es auf 0,1 kg zerfällt?

  • Lösung:

    Wir kennen die Anfangsmenge N0=20 kg, {displaystyle N_{0}=20{rm { kg}}, }

    final amount N=0.1 kg, {displaystyle N=0.1{rm { kg}}, }

    and the half-life of uranium-232 t1/2=70 years.{displaystyle t_{1/2}=70{rm { years}}.}

  • Rewrite the half-life formula to solve for time.

    • t=(t1/2)log1/2⁡(N(t)N0){displaystyle t=(t_{1/2})\log _{1/2}\left({frac {N(t)}{N_{0}}}\right)}

  • Substitute and evaluate.
  • t=(70 years)log1/2⁡(0.1 kg20 kg)≈535 years{displaystyle {begin{aligned}t&=(70{rm { years}})\log _{1/2}\left({frac {0.1{rm { kg}}}{20{rm { kg}}}}\right)\\&\approx 535{rm { years}}\end{aligned}}}

  • Remember to check your solution intuitively to see if it makes sense.
Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 17

Schritt 3. Problem 3

Os-182 hat eine Halbwertszeit von 21,5 Stunden. Wie viele Gramm einer 10,0 Gramm Probe wären nach genau 3 Halbwertszeiten zerfallen?

  • Lösung:

    (1/2)3=0,125{displaystyle (1/2)^{3}=0,125}

    (the amount remaining after 3 half-lives)

  • 10.0gx0.125=1.25g{displaystyle 10.0gx0.125=1.25g}

    remain

  • 10g−1.25g=8.75g{displaystyle 10g-1.25g=8.75g}

    have decayed

  • For this particular equation, the actual length of the half-life did not play a role.
Berechnen Sie die Halbwertszeit Schritt 18

Schritt 4. Problem 4

Ein radioaktives Isotop zerfiel nach 60 Minuten auf 17/32 seiner ursprünglichen Masse. Finden Sie die Halbwertszeit dieses Radioisotops.

  • Lösung:

    17/32=0.53125{displaystyle 17/32=0.53125}

    (this is the decimal amount that remains)

  • (1/2)n=0.53125{displaystyle (1/2)n=0.53125}

  • nlog0.5=log0.53125{displaystyle nlog0.5=log0.53125}

  • n=0.91254{displaystyle n=0.91254}

    (this is how many half-lives have elapsed)

  • 60min/0.91254=65.75min{displaystyle 60min/0.91254=65.75min}

  • n=66min{displaystyle n=66min}

    {displaystyle n=66min} />
<p> (bis 2 Sig Feigen)</li>
</ul>
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    Tipps

    • Eine alternative Formulierung für die Halbwertszeit verwendet eine ganzzahlige Basis. Beachten Sie, dass dies N(t){displaystyle N(t)}

      and n0{displaystyle n_{0}}

      in the logarithm expression.

      • t1/2=tlog2⁡(n0n(t)){displaystyle t_{1/2}={frac {t}{log _{2}\left({frac {n_{0}}{n(t)}}\right)}}}

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