3 Möglichkeiten, die Steigung einer Gleichung zu finden

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3 Möglichkeiten, die Steigung einer Gleichung zu finden
3 Möglichkeiten, die Steigung einer Gleichung zu finden
Anonim

Die Steigung einer Linie ist ein Maß dafür, wie schnell sie sich ändert. Dies kann für eine gerade Linie sein - wobei die Steigung genau angibt, wie weit eine Linie nach oben (positive Steigung) oder nach unten (negative Steigung) geht, während sie wie weit quer verläuft. Die Neigung kann auch für eine Linie verwendet werden, die eine Kurve tangiert. Oder es kann sich um eine gekrümmte Linie handeln, wenn man Infinitesimalrechnung macht, wobei die Steigung auch als "Ableitung" einer Funktion bekannt ist. Stellen Sie sich die Steigung in jedem Fall einfach als die "Änderungsrate" eines Diagramms vor: Wenn Sie die Variable "x" vergrößern, mit welcher Geschwindigkeit ändert sich "y"? Auf diese Weise kann die Steigung als Ursache- und Wirkungsereignis betrachtet werden.

Schritte

Methode 1 von 3: Ermitteln der Steigung einer linearen Gleichung

Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 1

Schritt 1. Verwenden Sie die Steigung, um zu bestimmen, wie steil und in welche Richtung (aufwärts oder abwärts) eine Linie verläuft

Die Steigung einer Linie zu finden ist einfach, solange Sie eine lineare Gleichung haben oder aufstellen können. Diese Methode funktioniert genau dann, wenn:

  • Es gibt keine Exponenten für die Variablen
  • Es gibt nur zwei Variablen, von denen keine Brüche sind (zum Beispiel hättest du nicht 1x{displaystyle {frac {1}{x}}}

  • The equation can be simplified to the form y=mx+b{displaystyle y=mx+b}

    , where m and b are constants (numbers like 3, 10, -12, 43, 35{displaystyle {frac {4}{3}}, {frac {3}{5}}}

    {frac {4}{3}}, {frac {3}{5}} />
<p>).</li>
</ul>
<h4>Schritt 2. Finden Sie die Zahl vor dem x, normalerweise geschrieben als
  • Slope = -1
  • y=38x−10{displaystyle y={frac {3}{8}}x-10}

    • Slope = 38{displaystyle {frac {3}{8}}}
  • Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 3

    Schritt 3. Reorganisieren Sie die Gleichung, sodass eine Variable isoliert wird, wenn die Steigung nicht offensichtlich ist

    Sie können addieren, subtrahieren, multiplizieren und vieles mehr, um eine Variable zu isolieren, normalerweise das "y". Denken Sie daran, dass Sie alles, was Sie auf einer Seite des Gleichheitszeichens tun (wie zum Beispiel 3 hinzufügen), auch auf der anderen Seite tun müssen. Ihr Endziel ist eine Gleichung ähnlich der y=mx+b{displaystyle y=mx+b}

    . For example:

    • Find the slope of 2y−3=8x+7{displaystyle 2y-3=8x+7}
    • Set to the form y=mx+b{displaystyle y=mx+b}
    • :

      • 2y−3+3=8x+7+3{displaystyle 2y-3+3=8x+7+3}

      • 2y=8x+10{displaystyle 2y=8x+10}

      • 2y2=8x+102{displaystyle {frac {2y}{2}}={frac {8x+10}{2}}}

      • y=4x+5{displaystyle y=4x+5}

    • Find the slope:

      • Slope = M =

        Step 4.

    Score

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    Method 1 Quiz

    Find the slope of the equation 4y - 8 = 6x + 2

    5/2

    Not quite! Looks like you may have calculated the equation correctly, but identified the wrong part of the solution as the slope. Slope is given by the equation y=mx+b, but you mistakenly identified b in this equation as the slope. Instead, the correct answer will be the constant m. Choose another answer!

    3/2

    Absolutely! To find the slope of an equation given in y=mx+b, balance the equation until y is by itself without any constants. First subtract 8 from both sides to get 4y = 6x + 10. Next, divide the equation by the constant 4 to isolate y, giving you y = 3/2x + 5/2. 3/2 is constant m in this equation, and thus the slope of the equation. Read on for another quiz question.

    4

    Nope! You may have gotten this answer by identifying y’s constant as the slope of the equation. Remember, you’ll have to rid y of any constants to find the slope of the equation. You can divide the entire equation by this constant to isolate y. Guess again!

    10

    Not exactly! It seems you may have taken the correct first step in balancing the equation by adding 8 to both sides, but this isn’t the final step. The constant b in y=mx+b is not the slope of the equation. Next, you should try isolating the variable y. There’s a better option out there!

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    Method 2 of 3: Finding the Slope with Two Points

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 4

    Schritt 1. Verwenden Sie einen Graphen und zwei Punkte, um die Steigung zu finden, ohne die Gleichung zur Hand zu haben

    Wenn Sie einen Graphen und eine Linie haben, aber keine Gleichung, können Sie die Steigung immer noch leicht finden. Alles was Sie brauchen sind zwei Punkte auf der Linie, die Sie in die Gleichung y2−y1x2−x1{displaystyle {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} einsetzen. }

    {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} />
<p>. Beachten Sie beim Finden der Piste die folgenden Informationen, um zu überprüfen, ob Sie auf dem richtigen Weg sind:</p>
<ul>
<li>Positive Steigungen werden höher, je weiter Sie nach rechts gehen.</li>
<li>Negative Gefälle werden geringer, je weiter Sie nach rechts gehen.</li>
<li>Größere Hänge sind steilere Linien. Kleine Steigungen sind immer sanfter.</li>
<li>Perfekt horizontale Linien haben eine Steigung von Null.</li>
<li>Perfekt vertikale Linien haben überhaupt keine Neigung. Ihre Steigung ist Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 5

    Schritt 2. Finden Sie zwei Punkte und setzen Sie sie in eine einfache (x, y) Form

    Verwenden Sie das Diagramm (oder die Testfrage), um die x- und y-Koordinaten von zwei Punkten auf dem Diagramm zu finden. Sie können zwei beliebige Punkte sein, die die Linie kreuzt. Nehmen wir als Beispiel an, dass die Zeile in dieser Methode durch (2, 4) und (6, 6) geht.

    • In jedem Paar ist die x-Koordinate die erste Zahl, die y-Koordinate kommt nach dem Komma.
    • Jeder x-Koordinate auf einer Linie ist eine y-Koordinate zugeordnet.
    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 6

    Schritt 3. Beschriften Sie Ihre Punkte x1, ja1, x2, ja2, wobei jeder Punkt mit seinem Paar bleibt.

    Um unser erstes Beispiel mit den Punkten (2, 4) und (6, 6) fortzusetzen, beschriften Sie die x- und y-Koordinaten jedes Punktes. Sie sollten am Ende haben:

    • x1:

      2

    • ja1:

      4

    • x2:

      6

    • ja2:

      6

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 7

    Schritt 4. Setzen Sie Ihre Punkte in die "Punkt-Steigungs-Formel" ein, um Ihre Steigung zu erhalten

    Die folgende Formel wird verwendet, um die Neigung anhand von zwei beliebigen Punkten auf einer geraden Linie zu ermitteln: y2−y1x2−x1{displaystyle {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

    . Simply plug in your four points and simplify:

    • Original Points:

      (2, 4) and (6, 6).

    • Plug into Point Slope:

      • 6−46−2{displaystyle {frac {6-4}{6-2}}}

    • Simplify for Final Answer:

      • 24=12{displaystyle {frac {2}{4}}={frac {1}{2}}}
      • = Slope

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 8

    Schritt 5. Verstehen Sie, wie die Punkt-Steigungs-Formel funktioniert

    Die Steigung einer Linie ist „Rise over Run“: wie viel die Linie nach oben geht geteilt durch wie viel die Linie nach rechts „läuft“. Der „Anstieg“der Linie ist die Differenz zwischen den y-Werten (denken Sie daran, die Y-Achse geht nach oben und unten) und der „Lauf“der Linie ist die Differenz zwischen den x-Werten (und der X-Achse geht nach links und rechts).

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 9

    Schritt 6. Erkennen Sie andere Möglichkeiten, wie Sie möglicherweise getestet werden, um die Neigung zu finden

    Die Steigungsgleichung lautet y2−y1x2−x1{displaystyle {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}}

    {frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}} />
<p>. Dies kann auch mit dem griechischen Buchstaben „Δ“dargestellt werden, der „Delta“genannt wird und „Unterschied von“bedeutet. Steigung kann auch als Δy/Δx dargestellt werden, d.h.

    -⅓

    Nicht genau! Anscheinend haben Sie die Punkte falsch in die Punkt-Steigungs-Formel eingefügt. Denken Sie daran, die Formel für die Steigung lautet (y2 - y1) / (x2 - x1). Klicken Sie auf eine andere Antwort, um die richtige zu finden…

    Richtig! Um die Steigung zweier gegebener Punkte zu ermitteln, können Sie die Punktsteigungsformel von (y2 - y1) / (x2 - x1) verwenden. Mit den eingefügten Punkten sieht die Formel wie (3 - 2) / (4 - 1) aus. Vereinfachen Sie die Formel, um eine Steigung von ⅓ zu erhalten. Lesen Sie weiter für eine weitere Quizfrage.

    3/1

    Nicht ganz! Es scheint, dass Sie die Punkt-Steigungs-Formel für diese Formel falsch angewendet haben. Denken Sie daran, dass die Punktsteigungsformel (y2 - y1) / (x2 - x1) ist. Klicken Sie auf eine andere Antwort, um die richtige zu finden…

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    Methode 3 von 3: Verwenden der Differentialrechnung, um die Steigung einer Kurve zu finden

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 10

    Schritt 1. Sehen Sie sich an, wie Sie eine Vielzahl von Ableitungen von allgemeinen Funktionen ableiten

    Ableitungen geben Ihnen die Änderungsrate (oder Steigung) an einem einzelnen Punkt auf einer Linie. Die Linie kann gebogen oder gerade sein – es spielt keine Rolle. Stellen Sie sich vor, wie stark sich die Linie zu einem bestimmten Zeitpunkt ändert, anstatt die Steigung der gesamten Linie. Die Art und Weise, wie Sie Derivate verwenden, hängt von der Art Ihrer Funktion ab. Überprüfen Sie daher, wie Sie gängige Derivate verwenden, bevor Sie fortfahren.

    • Überprüfen Sie die Einnahme von Derivaten hier
    • Die einfachsten Ableitungen, die für grundlegende Polynomgleichungen, sind mit einer einfachen Abkürzung leicht zu finden. Dies wird für den Rest der Methode verwendet.
    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 11

    Schritt 2. Verstehen Sie, welche Fragen für eine Steigung mit Ableitungen gestellt werden

    Sie werden nicht immer aufgefordert, explizit die Ableitung oder Steigung einer Kurve zu ermitteln. Möglicherweise werden Sie auch nach der "Änderungsrate am Punkt (x, y)" gefragt. Sie könnten nach einer Gleichung für die Steigung des Graphen gefragt werden, was einfach bedeutet, dass Sie die Ableitung nehmen müssen. Schließlich werden Sie möglicherweise nach. gefragt "die Steigung der Tangente bei (x, y)." Dies wiederum will nur die Steigung der Kurve an einem bestimmten Punkt (x, y).

    • Betrachten Sie für diese Methode die Frage: "Was ist die Steigung der Geraden f(x)=2x2+6x{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}

      f(x)=2x^{2}+6x />
<p> an der Stelle (4, 2)?
    • Die Ableitung wird oft geschrieben als f′(x), y′, {displaystyle f'(x), y', }

      or dydx{displaystyle {frac {dy}{dx}}}

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 12

    Schritt 3. Nehmen Sie die Ableitung Ihrer Funktion

    Sie brauchen nicht einmal wirklich Ihren Graphen, sondern nur die Funktion oder Gleichung für Ihren Graphen. Verwenden Sie für dieses Beispiel die Funktion von früher, f(x)=2x2+6x{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}

    . Following the methods outlined here, take the derivative of this simple function.

    • Derivative: f′(x)=4x+6{displaystyle f'(x)=4x+6}
    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 13

    Schritt 4. Setzen Sie Ihren Punkt in die Ableitungsgleichung ein, um Ihre Steigung zu erhalten

    Das Differential einer Funktion gibt Ihnen die Steigung der Funktion an einem bestimmten Punkt an. Mit anderen Worten, f’(x) ist die Steigung der Funktion an einem beliebigen Punkt (x, f(x)) Also für das Übungsproblem:

    • Wie groß ist die Steigung der Geraden f(x)=2x2+6x{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}

      at the point (4, 2)?

    • Derivative of Equation:

      • f′(x)=4x+6{displaystyle f'(x)=4x+6}

    • Plug in Point for x:

      • f′(x)=4(4)+6{displaystyle f'(x)=4(4)+6}

    • Find the Slope:
    • The slope of the f(x)=2x2+6x{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}

      at (4, 2) is 22.

    Finden Sie die Steigung einer Gleichung Schritt 14

    Schritt 5. Überprüfen Sie Ihren Punkt nach Möglichkeit mit einem Diagramm

    Wisse, dass nicht alle Punkte in der Infinitesimalrechnung eine Steigung haben. Die Infinitesimalrechnung gerät in komplexe Gleichungen und schwierige Graphen, und nicht alle Punkte haben eine Steigung oder existieren sogar in jedem Graphen. Verwenden Sie nach Möglichkeit einen Grafikrechner, um die Steigung Ihres Diagramms zu überprüfen. Wenn dies nicht möglich ist, zeichnen Sie die Tangente mit Ihrem Punkt und der Neigung (denken Sie daran - "Anstieg über Lauf") und beachten Sie, ob es so aussieht, als ob es richtig sein könnte.

    Tangentiale Linien sind nur Linien mit genau der gleichen Steigung wie Ihr Punkt auf der Kurve. Um eine zu zeichnen, gehen Sie Ihre Steigung nach oben (positiv) oder nach unten (negativ) (im Beispiel 22 Punkte nach oben). Gehen Sie dann über einen und zeichnen Sie einen Punkt. Verbinden Sie die Punkte (4, 2) und (26, 3) für Ihre Leitung

    Punktzahl

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    Methode 3 Quiz

    Finden Sie die Steigung der Geraden f(x) = 2x^2 + 4x am Punkt (2, 4).

    12

    Genau! Um die Steigung der Geraden f(x) = 2x^2 + 4x am Punkt (2, 4) zu ermitteln, bestimme eine Ableitung der Funktion. Eine Ableitung kann f(x) = 4x + 4 sein. Setzen Sie das x von Punkt (2, 4) in die Ableitung für eine Steigung von 12 ein. Lesen Sie weiter für eine weitere Quizfrage.

    16

    Nicht ganz! Möglicherweise haben Sie diese Antwort erhalten, indem Sie den x-Wert falsch in die Funktion eingesetzt haben, bevor Sie ihre Ableitung gefunden haben. Denken Sie daran, dass Sie eine Ableitung der Funktion finden müssen, bevor Sie den x-Wert einsetzen können. Eine Ableitung kann f(x) = 4x + 4 sein. Es gibt da draußen eine bessere Option!

    20

    Nö! Es sieht so aus, als ob Sie den falschen Wert von Punkt (2, 4) in eine Ableitung für die Linie eingefügt haben. Denken Sie daran, dass Sie den x-Wert in die Ableitung einsetzen sollten, nicht den y-Wert. Das wäre 2. Wählen Sie eine andere Antwort!

    48

    Versuchen Sie es nochmal! Möglicherweise haben Sie diese Antwort erhalten, indem Sie den y-Wert falsch in die Funktion eingefügt und versucht haben, zu lösen. Denken Sie daran, dass Sie zuerst eine Ableitung der Funktion finden müssen. Dann sollten Sie den x-Wert in die Ableitung einsetzen. Es gibt eine bessere Option da draußen!

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