3 Wege zur Lösung algebraischer Gleichungssysteme mit zwei Variablen

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3 Wege zur Lösung algebraischer Gleichungssysteme mit zwei Variablen
3 Wege zur Lösung algebraischer Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Anonim

In einem "Gleichungssystem" werden Sie aufgefordert, zwei oder mehr Gleichungen gleichzeitig zu lösen. Wenn diese zwei verschiedene Variablen enthalten, z. B. x und y oder a und b, kann es auf den ersten Blick schwierig sein, sie zu lösen. Sobald Sie wissen, was zu tun ist, brauchen Sie glücklicherweise nur noch grundlegende Algebra-Kenntnisse (und manchmal auch etwas über Brüche), um das Problem zu lösen. Wenn Sie ein visueller Lerner sind oder Ihr Lehrer dies verlangt, lernen Sie auch, wie Sie die Gleichungen grafisch darstellen. Die grafische Darstellung kann nützlich sein, um "zu sehen, was vor sich geht" oder um Ihre Arbeit zu überprüfen, aber sie kann langsamer sein als die anderen Methoden und funktioniert nicht für alle Gleichungssysteme.

Schritte

Methode 1 von 3: Verwenden der Substitutionsmethode

Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 1

Schritt 1. Verschieben Sie die Variablen auf verschiedene Seiten der Gleichung

Diese "Substitutionsmethode" beginnt mit dem "Auflösen nach x" (oder einer anderen Variablen) in einer der Gleichungen. Nehmen wir zum Beispiel an, Ihre Gleichungen sind 4x + 2y = 8 und 5x + 3y = 9. Schauen Sie sich zunächst die erste Gleichung an. Ordnen Sie es neu an, indem Sie 2y von jeder Seite subtrahieren, um Folgendes zu erhalten: 4x = 8 - 2y.

Diese Methode verwendet später oft Brüche. Sie können stattdessen die folgende Eliminierungsmethode ausprobieren, wenn Sie Brüche nicht mögen

Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 2

Schritt 2. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um „nach x aufzulösen

" Sobald Sie den x-Term (oder die von Ihnen verwendete Variable) auf einer Seite der Gleichung haben, teilen Sie beide Seiten der Gleichung, um die Variable allein zu erhalten. Zum Beispiel:

  • 4x = 8 - 2y
  • (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
  • x = 2 - ½y
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 3

Schritt 3. Setzen Sie dies wieder in die andere Gleichung ein

Stellen Sie sicher, dass Sie zu der anderen Gleichung zurückkehren, nicht zu der, die Sie bereits verwendet haben. Ersetzen Sie in dieser Gleichung die Variable, nach der Sie gelöst haben, sodass nur noch eine Variable übrig ist. Zum Beispiel:

  • Du weißt, dass x = 2 - ½y.
  • Ihre zweite Gleichung, die Sie noch nicht geändert haben, ist 5x + 3y = 9.
  • Ersetzen Sie in der zweiten Gleichung x durch "2 - ½y": 5(2 - ½y) + 3y = 9.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 4

Schritt 4. Lösen Sie nach der verbleibenden Variablen auf

Sie haben jetzt eine Gleichung mit nur einer Variablen. Verwenden Sie gewöhnliche Algebra-Techniken, um nach dieser Variablen aufzulösen. Wenn sich Ihre Variablen aufheben, fahren Sie mit dem letzten Schritt fort.

Andernfalls erhalten Sie eine Antwort für eine Ihrer Variablen:

  • 5(2 - ½y) + 3y = 9
  • 10 – (5/2)y + 3y = 9
  • 10 – (5/2)y + (6/2)y = 9 (Wenn Sie diesen Schritt nicht verstehen, lernen Sie, wie man Brüche addiert. Dies ist oft, aber nicht immer, für diese Methode notwendig.)
  • 10 + ½y = 9
  • ½y = -1
  • y = -2
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 5

Schritt 5. Verwenden Sie die Antwort, um nach der anderen Variablen aufzulösen

Machen Sie nicht den Fehler, das Problem halbfertig zu lassen. Sie müssen die erhaltene Antwort wieder in eine der ursprünglichen Gleichungen einfügen, damit Sie nach der anderen Variablen auflösen können:

  • Du weißt, dass y = -2
  • Eine der ursprünglichen Gleichungen ist 4x + 2y = 8. (Sie können für diesen Schritt eine der beiden Gleichungen verwenden.)
  • -2 statt y einstecken: 4x + 2(-2) = 8.
  • 4x - 4 = 8
  • 4x = 12
  • x = 3
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 6

Schritt 6. Wissen Sie, was zu tun ist, wenn sich beide Variablen aufheben

Wenn du einsteckst x=3y+2 oder eine ähnliche Antwort in die andere Gleichung, versuchen Sie, eine Gleichung mit nur einer Variablen zu erhalten. Manchmal erhalten Sie stattdessen eine Gleichung ohne Variablen. Überprüfen Sie Ihre Arbeit noch einmal und stellen Sie sicher, dass Sie die (neu geordnete) Gleichung eins in Gleichung zwei einsetzen, nicht einfach wieder in Gleichung eins. Wenn Sie sicher sind, keine Fehler gemacht zu haben, erhalten Sie eines der folgenden Ergebnisse:

  • Wenn Sie am Ende eine Gleichung haben, die keine Variablen hat und nicht wahr ist (zum Beispiel 3 = 5), hat das Problem keine Lösung. (Wenn Sie beide Gleichungen grafisch darstellen würden, würden Sie sehen, dass sie parallel sind und sich nie schneiden.)
  • Wenn Sie am Ende eine Gleichung ohne Variablen haben, die wahr ist (z. B. 3 = 3), hat das Problem unendliche Lösungen. Die beiden Gleichungen sind genau gleich. (Wenn Sie die beiden Gleichungen grafisch darstellen würden, würden Sie sehen, dass es sich um dieselbe Linie handelt.)

Methode 2 von 3: Verwenden der Eliminationsmethode

Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 7

Schritt 1. Suchen Sie die Variable, die aufgehoben wird

Manchmal heben die Gleichungen eine Variable bereits auf, wenn Sie sie addieren. Zum Beispiel, wenn Sie die Gleichungen kombinieren 3x + 2y = 11 und 5x - 2y = 13, "+2y" und "-2y" heben sich gegenseitig auf und entfernen alle "y"s aus der Gleichung. Sehen Sie sich die Gleichungen in Ihrem Problem an und finden Sie heraus, ob sich eine der Variablen auf diese Weise aufhebt. Wenn keiner von beiden dies tut, lesen Sie den nächsten Schritt, um Ratschläge zu erhalten.

Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 8

Schritt 2. Multiplizieren Sie eine Gleichung, damit sich eine Variable aufhebt

(Überspringen Sie diesen Schritt, wenn sich die Variablen bereits aufheben.) Wenn die Gleichungen keine Variable enthalten, die sich auf natürliche Weise aufheben, ändern Sie eine der Gleichungen, damit sie es tun. Dies lässt sich am einfachsten anhand eines Beispiels nachvollziehen:

  • Du hast das Gleichungssystem 3x - y = 3 und -x + 2y = 4.
  • Ändern wir die erste Gleichung so, dass die ja Variable wird aufgehoben. (Du kannst wählen x Stattdessen erhalten Sie am Ende die gleiche Antwort.)
  • Die - ja auf der ersten Gleichung muss mit stornieren + 2 Jahre in der zweiten Gleichung. Wir können dies erreichen, indem wir multiplizieren - ja von 2.
  • Multiplizieren Sie beide Seiten der ersten Gleichung mit 2, wie folgt: 2(3x - y)=2(3), so 6x - 2y = 6. Jetzt die - 2 Jahre wird mit dem stornieren +2j in der zweiten Gleichung.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 9

Schritt 3. Kombinieren Sie die beiden Gleichungen

Um zwei Gleichungen zu kombinieren, addieren Sie die linken Seiten und die rechten Seiten zusammen. Wenn Sie Ihre Gleichung richtig aufgestellt haben, sollte eine der Variablen aufgehoben werden. Hier ist ein Beispiel mit den gleichen Gleichungen wie im letzten Schritt:

  • Deine Gleichungen sind 6x - 2y = 6 und -x + 2y = 4.
  • Kombinieren Sie die linken Seiten: 6x - 2y - x + 2y = ?

  • Kombinieren Sie die rechten Seiten: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 10

Schritt 4. Lösen Sie nach der letzten Variablen auf

Vereinfachen Sie die kombinierte Gleichung und verwenden Sie dann die einfache Algebra, um nach der letzten Variablen aufzulösen. 'Wenn nach der Vereinfachung keine Variablen vorhanden sind, springen Sie stattdessen zum letzten Schritt in diesem Abschnitt.

Andernfalls sollten Sie am Ende eine einfache Antwort auf eine Ihrer Variablen erhalten. Zum Beispiel:

  • Sie haben 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
  • Gruppieren Sie die x und ja Variablen zusammen: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
  • Vereinfachen: 5x = 10
  • Nach x auflösen: (5x)/5 = 10/5, so x = 2.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 11

Schritt 5. Lösen Sie nach der anderen Variablen auf

Sie haben eine Variable gefunden, sind aber noch nicht ganz fertig. Setze deine Antwort in eine der ursprünglichen Gleichungen ein, damit du nach der anderen Variablen auflösen kannst. Zum Beispiel:

  • Du weißt, dass x = 2, und eine deiner ursprünglichen Gleichungen ist 3x - y = 3.
  • Stecken Sie 2 statt x ein: 3(2) - y = 3.
  • Löse nach y in der Gleichung auf: 6 - y = 3
  • 6 - y + y = 3 + y, so 6 = 3 + y
  • 3 = ja
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 12

Schritt 6. Wissen Sie, was zu tun ist, wenn sich beide Variablen aufheben

Manchmal führt die Kombination der beiden Gleichungen zu einer Gleichung, die keinen Sinn ergibt oder zumindest nicht zur Lösung des Problems beiträgt. Überprüfen Sie Ihre Arbeit von Anfang an, aber wenn Sie keinen Fehler gemacht haben, schreiben Sie eine der folgenden Antworten auf:

  • Wenn Ihre kombinierte Gleichung keine Variablen hat und nicht wahr ist (wie 2 = 7), gibt es keine Lösung das funktioniert bei beiden Gleichungen. (Wenn Sie beide Gleichungen grafisch darstellen, sehen Sie, dass sie parallel sind und sich niemals kreuzen.)
  • Wenn Ihre kombinierte Gleichung keine Variablen hat und wahr ist (wie 0 = 0), gibt es unendliche Lösungen. Die beiden Gleichungen sind eigentlich identisch. (Wenn Sie sie grafisch darstellen, sehen Sie, dass es sich um dieselbe Linie handelt.)

Methode 3 von 3: Graphische Darstellung der Gleichungen

Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 13

Schritt 1. Verwenden Sie diese Methode nur, wenn Sie dazu aufgefordert werden

Wenn Sie keinen Computer oder Grafikrechner verwenden, können viele Gleichungssysteme mit dieser Methode nur näherungsweise gelöst werden. Ihr Lehrer oder Ihr Mathematiklehrbuch verlangt möglicherweise, dass Sie diese Methode verwenden, damit Sie mit der grafischen Darstellung von Gleichungen als Linien vertraut sind. Sie können diese Methode auch verwenden, um Ihre Antworten von einer der anderen Methoden zu überprüfen.

Die Grundidee besteht darin, beide Gleichungen graphisch darzustellen und den Punkt zu finden, an dem sie sich schneiden. Die x- und y-Werte an dieser Stelle geben uns den Wert von x und den Wert von y im Gleichungssystem

Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 14

Schritt 2. Lösen Sie beide Gleichungen nach y

Halten Sie die beiden Gleichungen getrennt und verwenden Sie Algebra, um jede Gleichung in die Form "y = __x + __" umzuwandeln. Zum Beispiel:

  • Ihre erste Gleichung ist 2x + y = 5. Ändere dies in y = -2x + 5.
  • Ihre zweite Gleichung ist -3x + 6y = 0. Ändere dies in 6y = 3x + 0, dann vereinfachen zu y = ½x + 0.
  • Wenn beide Gleichungen identisch sind, wird die gesamte Linie eine "Kreuzung". Schreiben unendliche Lösungen.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 15

Schritt 3. Zeichnen Sie Koordinatenachsen

Zeichnen Sie auf einem Millimeterpapier eine vertikale "y-Achse" und eine horizontale "x-Achse". Beginnen Sie an dem Punkt, an dem sie sich schneiden, beschriften Sie die Zahlen 1, 2, 3, 4 usw. Bewegen Sie sich auf der y-Achse nach oben und auf der x-Achse wieder nach rechts. Beschriften Sie die Zahlen -1, -2 usw., indem Sie sich auf der y-Achse nach unten und auf der x-Achse nach links bewegen.

  • Wenn Sie kein Millimeterpapier haben, verwenden Sie ein Lineal, um sicherzustellen, dass die Zahlen genau auseinander liegen.
  • Wenn Sie große Zahlen oder Dezimalzahlen verwenden, müssen Sie Ihr Diagramm möglicherweise anders skalieren. (Zum Beispiel 10, 20, 30 oder 0,1, 0,2, 0,3 statt 1, 2, 3).
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 16

Schritt 4. Zeichnen Sie den y-Achsenabschnitt für jede Linie

Sobald Sie eine Gleichung in der Form haben y = __x + __, können Sie mit der grafischen Darstellung beginnen, indem Sie einen Punkt zeichnen, wo die Linie die y-Achse schneidet. Dies wird immer einen y-Wert haben, der der letzten Zahl in dieser Gleichung entspricht.

  • In unseren Beispielen von vorhin ist eine Zeile (y = -2x + 5) schneidet die y-Achse bei

    Schritt 5.. Das andere (y = ½x + 0) fängt bei. ab 0. (Dies sind die Punkte (0, 5) und (0, 0) im Diagramm.)

  • Verwenden Sie für die beiden Linien möglichst verschiedenfarbige Stifte oder Bleistifte.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 17

Schritt 5. Verwenden Sie die Steigung, um die Linien fortzusetzen

In der Form y = __x + __, die Zahl vor dem x ist die Steigung der Geraden. Jedes Mal, wenn x um eins ansteigt, erhöht sich der y-Wert um den Betrag der Steigung. Verwenden Sie diese Informationen, um den Punkt im Diagramm für jede Linie zu zeichnen, wenn x = 1. (Alternativ setzen Sie x = 1 für jede Gleichung ein und lösen nach y auf.)

  • In unserem Beispiel ist die Zeile y = -2x + 5 hat eine Steigung von -2. Bei x = 1 bewegt sich die Linie vom Punkt bei x = 0 um 2 nach unten. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen (0, 5) und (1, 3).
  • Die Linie y = ½x + 0 hat eine Steigung von ½. Bei x = 1 bewegt sich die Linie ½ vom Punkt bei x = 0 nach oben. Zeichnen Sie das Liniensegment zwischen (0, 0) und (1, ½).
  • Wenn die Linien die gleiche Steigung haben, werden sich die Geraden nie schneiden, daher gibt es keine Antwort auf das Gleichungssystem. Schreiben keine Lösung.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 18

Schritt 6. Fahren Sie mit dem Plotten der Linien fort, bis sie sich schneiden

Halten Sie an und sehen Sie sich Ihr Diagramm an. Wenn sich die Linien bereits gekreuzt haben, fahren Sie mit dem nächsten Schritt fort. Treffen Sie andernfalls eine Entscheidung basierend auf dem, was die Linien tun:

  • Wenn sich die Linien aufeinander zu bewegen, zeichnen Sie die Punkte weiterhin in dieser Richtung.
  • Wenn sich die Linien voneinander entfernen, bewegen Sie sich zurück und zeichnen Sie Punkte in die andere Richtung, beginnend bei x = -1.
  • Wenn die Linien nicht nahe beieinander liegen, versuchen Sie, nach vorne zu springen und weiter entfernte Punkte zu zeichnen, z. B. bei x = 10.
Löse Systeme algebraischer Gleichungen mit zwei Variablen Schritt 19

Schritt 7. Finden Sie die Antwort an der Kreuzung

Sobald sich die beiden Linien schneiden, sind die x- und y-Werte an diesem Punkt die Antwort auf Ihr Problem. Wenn Sie Glück haben, ist die Antwort eine ganze Zahl. In unseren Beispielen schneiden sich die beiden Geraden beispielsweise bei (2, 1) deine Antwort ist also x = 2 und y = 1. In einigen Gleichungssystemen schneiden sich die Linien bei einem Wert zwischen zwei ganzen Zahlen, und es sei denn, Ihr Diagramm ist extrem genau, wird es schwierig sein, zu sagen, wo dies ist. In diesem Fall können Sie eine Antwort wie "x liegt zwischen 1 und 2" schreiben oder die Ersetzungs- oder Eliminierungsmethode verwenden, um die genaue Antwort zu finden.

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Tipps

  • Sie können Ihre Arbeit überprüfen, indem Sie die Antworten wieder in die ursprünglichen Gleichungen einsetzen. Wenn die Gleichungen am Ende wahr sind (zum Beispiel 3 = 3), ist Ihre Antwort richtig.
  • Bei der Eliminationsmethode müssen Sie manchmal eine Gleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren, um eine Variable auszulöschen.

Warnungen

  • Diese Methoden können nicht verwendet werden, wenn eine Variable auf einen Exponenten erhöht ist, wie z. B. x2. Weitere Informationen zu Gleichungen dieses Typs finden Sie in einer Anleitung zum Faktorisieren von Quadraten mit zwei Variablen.

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