Wie man den Schnittpunkt zweier Geraden algebraisch findet

Wenn sich gerade Linien in einem zweidimensionalen Graphen schneiden, treffen sie sich nur an einem Punkt, der durch eine einzelne Menge von x{displaystyle x}

- and y{displaystyle y}

-coordinates. Because both lines pass through that point, you know that the x{displaystyle x}

- and y{displaystyle y}

- coordinates must satisfy both equations. With a couple extra techniques, you can find the intersections of parabolas and other quadratic curves using similar logic.

Steps

Method 1 of 2: Finding the Intersection of Two Straight Lines

Schritt 1. Schreiben Sie die Gleichung für jede Zeile mit y{displaystyle y}

on the left side.

If necessary, rearrange the equation so y{displaystyle y}

is alone on one side of the equal sign. If the equation uses f(x){displaystyle f(x)}

or g(x){displaystyle g(x)}

instead of y{displaystyle y}

, separate this term instead. Remember, you can cancel out terms by performing the same action to both sides.

• Start with the basic equation y = mx + b.
• If you do not know the equations, find them based on the information you have.

• Example:

  Your two lines are y=x+3{displaystyle y=x+3}

  and y−12=−2x{displaystyle y-12=-2x}

  . To get y{displaystyle y}

  alone in the second equation, add 12 to each side: y=12−2x{displaystyle y=12-2x}

Schritt 2. Stellen Sie die rechten Seiten der Gleichung gleich

Wir suchen einen Punkt, an dem die beiden Linien das gleiche x{displaystyle x} haben

and y{displaystyle y}

values; this is where the lines cross. Both equations have just y{displaystyle y}

on the left side, so we know the right sides are equal to each other. Write a new equation that represents this.

For example, if you want to know where the lines y = x + 3 crosses y = 12 - 2x, you'd equate them by writing x + 3 = 12 - 2x

Schritt 3. Nach x auflösen

Die neue Gleichung hat nur eine Variable, x{displaystyle x}

. Solve this using algebra, by performing the same operation on both sides. Get the x{displaystyle x}

terms on one side of the equation, then put it in the form x=??{displaystyle x=??}

. (If this is impossible, skip down to the end of this section.)

• Example:

  x+3=12−2x{displaystyle x+3=12-2x}

• Add 2x{displaystyle 2x}

  to each side:

• 3x+3=12{displaystyle 3x+3=12}

• Subtract 3 from each side:
• 3x=9{displaystyle 3x=9}

• Divide each side by 3:
• x=3{displaystyle x=3}

Schritt 4. Verwenden Sie dieses x{displaystyle x}

-value to solve for y{displaystyle y}

Choose the equation for either line. Replace every x{displaystyle x}

in the equation with the answer you found. Do the arithmetic to solve for y{displaystyle y}

• Example:

  x=3{displaystyle x=3}

  and y=x+3{displaystyle y=x+3}
• y=3+3{displaystyle y=3+3}

• y=6{displaystyle y=6}

Schritt 5. Überprüfen Sie Ihre Arbeit

Es ist eine gute Idee, Ihr x{displaystyle x}

-value into the other equation and see if you get the same result. If you get a different solution for y{displaystyle y}

, go back and check your work for mistakes.

• Example:

  x=3{displaystyle x=3}

  and y=12−2x{displaystyle y=12-2x}

• y=12−2(3){displaystyle y=12-2(3)}

• y=12−6{displaystyle y=12-6}

• y=6{displaystyle y=6}
• This is the same answer as before. We did not make any mistakes.

Schritt 6. Schreiben Sie das x{displaystyle x} auf

and y{displaystyle y}

coordinates of the intersection.

You've now solved for the x{displaystyle x}

-value and y{displaystyle y}

-value of the point where the two lines intersect. Write down the point as a coordinate pair, with the x{displaystyle x}

-value as the first number.

• Example:

  x=3{displaystyle x=3}

  and y=6{displaystyle y=6}
• The two lines intersect at (3, 6).

Schritt 7. Umgang mit ungewöhnlichen Ergebnissen

Einige Gleichungen machen es unmöglich, nach x{displaystyle x} aufzulösen

. This doesn't always mean you made a mistake. There are two ways a pair of lines can lead to a special solution:

• If the two lines are parallel, they do not intersect. The x{displaystyle x}

  terms will cancel out, and your equation will simplify to a false statement (such as 0=1{displaystyle 0=1}

  

  die Linien schneiden sich nicht" oder keine wirkliche lösung“als Ihre Antwort.

• Wenn die beiden Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, "schneiden" sie sich überall. Das x{displaystyle x}

  terms will cancel out and your equation will simplify to a true statement (such as 3=3{displaystyle 3=3}

  

  die beiden zeilen sind gleich“als Ihre Antwort.

Methode 2 von 2: Probleme mit quadratischen Gleichungen



Schritt 1. Erkennen Sie quadratische Gleichungen

In einer quadratischen Gleichung werden eine oder mehrere Variablen quadriert (x2{displaystyle x^{2}}

or y2{displaystyle y^{2}}

), and there are no higher powers. The lines these equations represent are curved, so they can intersect a straight line at 0, 1, or 2 points. This section will teach you how to find the 0, 1, or 2 solutions to your problem.

• Expand equations with parentheses to check whether they're quadratics. For example, y=(x+3)(x){displaystyle y=(x+3)(x)}

  is quadratic, since it expands into y=x2+3x.{displaystyle y=x^{2}+3x.}

• Equations for a circle or ellipse have both an x2{displaystyle x^{2}}

  and a y2{displaystyle y^{2}}

  term. If you're having trouble with these special cases, see the Tips section below.



Schritt 2. Schreiben Sie die Gleichungen in Bezug auf y

Schreiben Sie bei Bedarf jede Gleichung so um, dass y allein auf einer Seite steht.

• Beispiel:

  Finden Sie den Schnittpunkt von x2+2x−y=−1{displaystyle x^{2}+2x-y=-1}

  and y=x+7{displaystyle y=x+7}

• Rewrite the quadratic equation in terms of y:
• y=x2+2x+1{displaystyle y=x^{2}+2x+1}
and y=x+7{displaystyle y=x+7}
.
• This example has one quadratic equation and one linear equation. Problems with two quadratic equations are solved in a similar way.


Schritt 3. Kombinieren Sie die beiden Gleichungen, um das y aufzuheben

Sobald Sie beide Gleichungen gleich y gesetzt haben, wissen Sie, dass die beiden Seiten ohne y gleich sind.

• Beispiel:

  y=x2+2x+1{displaystyle y=x^{2}+2x+1}

  and y=x+7{displaystyle y=x+7}

• x2+2x+1=x+7{displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}


Schritt 4. Ordnen Sie die neue Gleichung so an, dass eine Seite gleich Null ist

Verwenden Sie algebraische Standardtechniken, um alle Begriffe auf eine Seite zu bringen. Dadurch wird das Problem festgelegt, sodass wir es im nächsten Schritt lösen können.

• Beispiel:

  x2+2x+1=x+7{displaystyle x^{2}+2x+1=x+7}

• Subtract x from each side:
• x2+x+1=7{displaystyle x^{2}+x+1=7}

• Subtract 7 from each side:
• x2+x−6=0{displaystyle x^{2}+x-6=0}


Schritt 5. Lösen Sie die quadratische Gleichung

Nachdem Sie eine Seite gleich Null gesetzt haben, gibt es drei Möglichkeiten, eine quadratische Gleichung zu lösen. Unterschiedliche Menschen finden unterschiedliche Methoden einfacher. Lesen Sie mehr über die quadratische Formel oder "das Quadrat vervollständigen" oder folgen Sie diesem Beispiel der Faktorisierungsmethode:

• Beispiel:

  x2+x−6=0{displaystyle x^{2}+x-6=0}

• The goal of factoring is to find the two factors that multiply together to make this equation. Starting with the first term, we know x2{displaystyle x^{2}}

  can divide into x, and x. Write down (x)(x) = 0 to show this.

• The last term is -6. List each pair of factors that multiply to make negative six: −6∗1{displaystyle -6*1}

  , −3∗2{displaystyle -3*2}

  , −2∗3{displaystyle -2*3}

  , and −1∗6{displaystyle -1*6}

• The middle term is x (which you could write as 1x). Add each pair of factors together until you get 1 as an answer. The correct pair of factors is −2∗3{displaystyle -2*3}

  , since −2+3=1{displaystyle -2+3=1}

• Fill out the gaps in your answer with this pair of factors: (x−2)(x+3)=0{displaystyle (x-2)(x+3)=0}
.


Schritt 6. Halten Sie nach zwei Lösungen für x Ausschau

Wenn Sie zu schnell arbeiten, finden Sie möglicherweise eine Lösung für das Problem und wissen nicht, dass es eine zweite gibt. So finden Sie die beiden x-Werte für Linien, die sich an zwei Punkten schneiden:

• Beispiel (Factoring): Wir haben die Gleichung (x−2)(x+3)=0{displaystyle (x-2)(x+3)=0}

  . If either of the factors in parentheses equal 0, the equation is true. One solution is x−2=0{displaystyle x-2=0}

  → x=2{displaystyle x=2}

  . The other solution is x+3=0{displaystyle x+3=0}

  → x=−3{displaystyle x=-3}

  .
• Example (quadratic equation or complete the square): If you used one of these methods to solve your equation, a square root will show up. For example, our equation becomes x=(−1+25)/2{displaystyle x=(-1+{sqrt {25}})/2}

. Remember that a square root can simplify to two different solutions: 25=5∗5{displaystyle {sqrt {25}}=5*5}

, and 25=(−5)∗(−5){displaystyle {sqrt {25}}=(-5)*(-5)}

. Write two equations, one for each possibility, and solve for x in each one.



Schritt 7. Lösen Sie Probleme mit einer oder null Lösungen

Zwei Linien, die sich kaum berühren, haben nur einen Schnittpunkt, und zwei Linien, die sich nie berühren, haben Null. So erkennen Sie diese:

• Eine Lösung: Die Probleme zerlegen in zwei identische Faktoren ((x-1)(x-1) = 0). Beim Einsetzen in die quadratische Formel ist der Quadratwurzelterm 0{displaystyle {sqrt {0}}}

  . You only need to solve one equation.

• No real solution: There are no factors that satisfy the requirements (summing to the middle term). When plugged into the quadratic formula, you get a negative number under the square root sign (such as −2{displaystyle {sqrt {-2}}}
  

  Schritt 8. Setzen Sie Ihre x-Werte wieder in eine der ursprünglichen Gleichungen ein

  Sobald Sie den x-Wert Ihres Schnittpunkts haben, setzen Sie ihn wieder in eine der Gleichungen ein, mit denen Sie begonnen haben. Lösen Sie nach y auf, um den y-Wert zu finden. Wenn Sie einen zweiten x-Wert haben, wiederholen Sie dies auch.

  • Beispiel:

    Wir haben zwei Lösungen gefunden, x=2{displaystyle x=2}

    and x=−3{displaystyle x=-3}

    . One of our lines has the equation y=x+7{displaystyle y=x+7}

    . Plug in y=2+7{displaystyle y=2+7}

    and y=−3+7{displaystyle y=-3+7}

    , then solve each equation to find that y=9{displaystyle y=9}

    and y=4{displaystyle y=4}

  

  Schritt 9. Schreiben Sie die Punktkoordinaten

  Schreiben Sie nun Ihre Antwort in Koordinatenform mit dem x-Wert und y-Wert der Schnittpunkte. Wenn Sie zwei Antworten haben, stellen Sie sicher, dass Sie jedem y-Wert den richtigen x-Wert zuordnen.

  • Beispiel:

    Als wir x=2{displaystyle x=2} eingesteckt haben

    , we got y=9{displaystyle y=9}

    

    Tipps

    • Gleichungen für einen Kreis oder eine Ellipse haben ein x2{displaystyle x^{2}}

      term and a y2{displaystyle y^{2}}

      term. to find the intersection of a circle and a straight line, solve for x in the linear equation. substitute the solution for x in the circle equation, and you'll have an easier quadratic equation. these problems can have 0, 1, or 2 solutions, as described in the method above.

    • a circle and a parabola (or other quadratic) can have 0, 1, 2, 3, or 4 solutions. find the variable that is squared in both equations - let's say it's x². solve for x2{displaystyle x^{2}}

    and substitute the answer for the x2{displaystyle x^{2}}

    in the other equation. solve for y to get 0, 1, or 2 solutions. plug each solution back into the original quadratic equation and solve for x. each of these can have 0, 1, or 2 solutions.