3 Möglichkeiten, Derivate zu nehmen

Die Ableitung ist ein Operator, der die momentane Änderungsrate einer Größe, normalerweise einer Steigung, ermittelt. Ableitungen können verwendet werden, um nützliche Eigenschaften einer Funktion zu erhalten, wie beispielsweise ihre Extrema und Wurzeln. Das Finden der Ableitung aus ihrer Definition kann mühsam sein, aber es gibt viele Techniken, um dies zu umgehen und Ableitungen einfacher zu finden.

Schritte

Methode 1 von 3: Vorbereitungen

Schritt 1. Verstehen Sie die Definition der Ableitung

Obwohl dies fast nie verwendet wird, um Derivate tatsächlich zu verwenden, ist es dennoch wichtig, dieses Konzept zu verstehen.

• Denken Sie daran, dass die lineare Funktion die Form y=mx+b hat.{displaystyle y=mx+b.}

  To find the slope m{displaystyle m}

  of this function, two points on the line are taken, and their coordinates are plugged into the relation m=y2−y1x2−x1.{displaystyle m={frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}.}

  Of course, this can only be used with linear graphs.
• For nonlinear functions, the line will be curved, so taking the difference of two points can only give the average rate of change between them. The line that intersects these two points is called the secant line, with a slope m=f(x+Δx)−f(x)Δx, {displaystyle m={frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{Delta x}}, }

where Δx=x2−x1{displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}}

is the change in x, {displaystyle x, }

and we have replaced y{displaystyle y}

with f(x).{displaystyle f(x).}

This is the same equation as the one before.

• The concept of the derivatives comes in when we take the limit Δx→0.{displaystyle \Delta x\to 0.}

  When this happens, the distance between the two points shrinks, and the secant line better approximates the rate of change of the function. When we do send the limit to 0, we end up with the instantaneous rate of change and obtain the slope of the tangent line to the curve (see animation above). Then, we end up with the definition of the derivative, where the prime symbol denotes the derivative of the function f.{displaystyle f.}

  • f′(x)=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx{displaystyle f^{prime }(x)=\lim _{Delta x\to 0}{frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{Delta x}}}
• Finding the derivative from this definition stems from expanding the numerator, canceling, and then evaluating the limit, since immediately evaluating the limit will give a 0 in the denominator.

Schritt 2. Verstehen Sie die Ableitungsnotation

Es gibt zwei übliche Notationen für das Derivat, obwohl es andere gibt.

• Lagranges Notation.

  Im vorherigen Schritt haben wir diese Notation verwendet, um die Ableitung einer Funktion f(x){displaystyle f(x)}

  by adding a prime symbol.

  • f′(x){displaystyle f^{prime }(x)}
    

    where this represents the fourth derivative.

• Leibniz's Notation.

  This is the other commonly used notation, and we will use it in the rest of the article.

  • dfdx{displaystyle {frac {mathrm {d} f}{mathrm {d} x}}}
    

    for values of x{displaystyle x}

    and y{displaystyle y}

    that are infinitesimally different from each other. When using this notation for higher derivatives, you must write d2fdx2, {displaystyle {frac {mathrm {d} ^{2}f}{mathrm {d} x^{2}}}, }

    

    Schritt 1. Ersetzen Sie (x+Δx){displaystyle (x+\Delta x)}

    into the function.

    For this example, we will define f(x)=2x2+6x.{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x.}

    • f(x+Δx)=2(x+Δx)2+6(x+Δx)=2(x2+2xΔx+(Δx)2)+6x+6Δx=2x2+4xΔx+2(Δx)2+6x+6Δx.{displaystyle {begin{aligned}f(x+\Delta x)&=2(x+\Delta x)^{2}+6(x+\Delta x)\\&=2(x^{2}+2x\Delta x+(Delta x)^{2})+6x+6\Delta x\\&=2x^{2}+4x\Delta x+2(Delta x)^{2}+6x+6\Delta x.\end{aligned}}}

    

    Schritt 2. Ersetzen Sie die Funktion in den Grenzwert

    Dann werten Sie die Grenze aus.

    • ddxf(x)=limΔx→0(2x2+4xΔx+2(Δx)2+6x+6Δx)−(2x2+6x)Δx=limΔx→04xΔx+2(Δx)2+6ΔxΔx=limΔx→0Δx(4x+2Δx +6)Δx=limΔx→04x+2Δx+6=4x+6.{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)& =\lim_{Updelta x\to 0}{frac {(2x^{2}+4x\Updelta x+2(Updelta x)^{2}+6x+6\Updelta x)-(2x^ {2}+6x)}{Updelta x}}\&=\lim_{Updelta x\to 0}{frac {4x\Updelta x+2(Updelta x)^{2}+6\ Delta x}{Delta x}}\&=\lim _{Delta x\to 0}{frac {Delta x(4x+2\Delta x+6)}{Delta x}}\ &=\lim_{Delta x\to 0}4x+2\Delta x+6\&=4x+6.\end{ausgerichtet}}}

    • This is a lot of work for such a simple function. We will see that there are plenty of derivative rules to skirt past this type of evaluation.
    • You can find the slope anywhere on the function f(x)=2x2+6x.{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x.}

      Simply plug in any x value into the derivative df(x)dx=4x+6.{displaystyle {frac {mathrm {d} f(x)}{mathrm {d} x}}=4x+6.}

    The Power Rule

    

    Schritt 1. Verwenden Sie die Potenzregel, wenn f(x){displaystyle f(x)}

    is a polynomial function of degree n.

    Multiply the exponent with the coefficient and bring down the power by one.

    • The formula is ddx(xn)=nxn−1.{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(x^{n})=nx^{n-1}.}

    • Although the intuitive method seems to only apply to natural number exponents, it can be generalized to all real numbers; that is, n∈R.{displaystyle n\in \mathbb {R}.}

    

    Schritt 2. Verwenden Sie das vorherige Beispiel

    f(x)=2x2+6x.{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x.}

    Remember that x=x1.{displaystyle x=x^{1}.}

    • f(x)=2x2+6xddxf(x)=(2)2x2−1+(1)6x1−1=4x+6.{displaystyle {begin{aligned}f(x)&=2x^{2}+6x\\{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)&=(2)2x^{2-1}+(1)6x^{1-1}\\&=4x+6.\end{aligned}}}

    • We have used the property that the derivative of a sum is the sum of the derivatives (technically, the reason why we can do this is because the derivative is a linear operator). Obviously, the power rule makes finding derivatives of polynomials much easier.
    • Before going on, it is important to note that the derivative of a constant is 0, because the derivative measures the rate of change, and no such change exists with a constant.

    Higher Order Derivatives

    

    Schritt 1. Unterscheiden Sie erneut

    Eine Ableitung einer Funktion höherer Ordnung zu nehmen bedeutet nur, dass Sie die Ableitung der Ableitung nehmen (für die Ordnung von 2). Wenn Sie beispielsweise aufgefordert werden, die dritte Ableitung zu bilden, differenzieren Sie die Funktion einfach dreimal. Für Polynomfunktionen vom Grad n, {displaystyle n, }

    the n+1{displaystyle n+1}

    order derivative will be 0.

    

    Schritt 2. Nehmen Sie die dritte Ableitung des vorherigen Beispiels f(x)=2x2+6x{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x}

    • ddxf(x)=4x+6d2dx2f(x)=4d3dx3f(x)=0{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}f(x)&=4x+6\\{frac {mathrm {d} ^{2}}{mathrm {d} x^{2}}}f(x)&=4\\{frac {mathrm {d} ^{3}}{mathrm {d} x^{3}}}f(x)&=0\end{aligned}}}

    • In most applications of derivatives, especially in physics and engineering, you will at most differentiate twice, or perhaps three times.

    The Product and Quotient Rules

    

    Schritt 1. In diesem Artikel finden Sie eine vollständige Behandlung der Produktregel

    Im Allgemeinen ist die Ableitung eines Produkts nicht gleich dem Produkt der Ableitungen. Vielmehr ist jede Funktion "an der Reihe", um zu unterscheiden.

    • ddx(fg)=dfdxg+fdgdx{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}(fg)={frac {mathrm {d} f}{mathrm {d } x}}g+f{frac {mathrm {d} g}{mathrm {d} x}}}

    

    Schritt 2. Verwenden Sie die Quotientenregel, um Ableitungen rationaler Funktionen zu bilden

    Wie bei Produkten im Allgemeinen gilt für die Ableitung eines Quotienten nicht gleich dem Quotienten der Ableitungen.

    • ddx(fg)=gdfdx−fdgdxg2{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\left({frac {f}{g}}\right)={frac {g{frac{textrm{d}f}{textrm{d}x}}-f{frac{textrm{d}g}{textrm{d}x}}}{g^{2 }}}}
      

      and h(x)=x−3.{displaystyle h(x)=x-3.}

      Then use the quotient rule.

      • ddx(gh)=(x−3)(2x+2)−(x2+2x−21)(1)(x−3)2=x2−6x+15(x−3)2{displaystyle {begin{aligned}{frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\left({frac {g}{h}}\right)&={frac {(x-3)(2x+2)-(x^{2}+2x-21)(1)}{(x-3)^{2}}}\\&={frac {x^{2}-6x+15}{(x-3)^{2}}}\end{aligned}}}

    • Make sure your algebra is up to par. Derivatives involving quotients like these can quickly become cumbersome in terms of the algebra involved. This means you should be comfortable with factoring out constants and keeping track of negative signs.

    The Chain Rule

    

    Schritt 1. Verwenden Sie die Kettenregel für verschachtelte Funktionen

    Betrachten Sie beispielsweise das Szenario, in dem z(y){displaystyle z(y)}

    is a differentiable function of y{displaystyle y}

    and y(x){displaystyle y(x)}

    is a differentiable function of x.{displaystyle x.}

    Then there is a composite function z(y(x)), {displaystyle z(y(x)), }

    or z{displaystyle z}

    as a function of x, {displaystyle x, }

    that we can take the derivative of.

    • ddxz(y(x))=dzdydydx{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}z(y(x))={frac {mathrm {d} z}{mathrm {d} y}}{frac {mathrm {d} y}{mathrm {d} x}}}
      

      Schritt 2. Betrachten Sie die Funktion f(x)=(2x4−x)3{displaystyle f(x)=(2x^{4}-x)^{3}}

      Notice that this function can be decomposed into two elementary functions, g(x)=2x4−x{displaystyle g(x)=2x^{4}-x}

      and h(g)=g3.{displaystyle h(g)=g^{3}.}

      Then, we want to find the derivative of the composition f(x)=h(g(x)).{displaystyle f(x)=h(g(x)).}

      • Use the chain rule ddxh(g(x))=dhdgdgdx.{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}h(g(x))={frac {mathrm {d} h}{mathrm {d} g}}{frac {mathrm {d} g}{mathrm {d} x}}.}

        We have now written the derivative in terms of derivatives that are easier to take. Then,

      • ddxh(g(x))=3(2x4−x)2(8x3−1).{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}h(g(x))=3(2x^{4}-x)^{2}(8x^{3}-1).}
        

        Schritt 1. In diesem Artikel finden Sie eine vollständige Behandlung der impliziten Differenzierung

        Das Verständnis der Kettenregel ist ein Muss, um implizit zu differenzieren.

        

        Schritt 2. In diesem Artikel finden Sie eine vollständige Behandlung der Differenzierung von Exponentialfunktionen

        • ddxex=ex{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}e^{x}=e^{x}}

        • ddxax=axln⁡a{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}a^{x}=a^{x}\ln a}

        • ddxln⁡x=1x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\ln x={frac {1}{x}}}

        • ddxloga⁡x=1xln⁡a{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\log _{a}x={frac {1}{x\ln a}}}

        

        Schritt 3. Merken Sie sich die grundlegenden trigonometrischen Ableitungen und wie man sie herleitet

        • ddxsin⁡x=cos⁡x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\sin x=\cos x}

        • ddxcos⁡x=−sin⁡x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\cos x=-\sin x}

        • ddxtan⁡x=sec2⁡x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\tan x=\sec ^{2}x}

        • ddxcot⁡x=−csc2⁡x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\cot x=-\csc ^{2}x}

        • ddxsec⁡x=sec⁡xtan⁡x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\sec x=\sec x\tan x}

        • ddxcsc⁡x=−csc⁡xcot⁡x{displaystyle {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} x}}\csc x=-\csc x\cot x}

        Method 3 of 3: Using a Calculator

        Step 1. Press Alpha F2

        This will open the “Window” key, where you’ll see lots of options. Scroll over to the FUNC tab if you aren’t there already.

        These instructions are for new models of the TI-84 and the TI-84 Plus. Older models may be slightly different

        Step 2. Select nDeriv

        It’s the third option on the list. When you get to it, you can press “enter” to select it.

        Step 3. Enter your formula into the equation

        When you hit the derivative option, your calculator will give you a blank equation that looks like this: (d/d[])([])|x=[]{displaystyle (d/d[])([])|x=[]}

        . Go ahead and enter your specific numbers into the equation.

        • For example, if you were finding the derivative of the function x2{displaystyle x^{2}}

          where x=2{displaystyle x=2}

          , you’d enter (d/dx)(x2)|x=2{displaystyle (d/dx)(x^{2})|x=2}

          

          Tipps

          • Jede in diesem Artikel beschriebene Technik zur Berechnung von Ableitungen kann durch die richtige Verwendung der Definition der Ableitung überprüft werden. Wenn Ihnen beispielsweise die Potenzregel lückenhaft erscheint, versuchen Sie, die Formel mithilfe der Definition wiederherzustellen.
          • Üben Sie die Produktregel, die Kettenregel und insbesondere die implizite Differentiation, da diese schwieriger zu differenzieren sind und außerhalb der Mathematik weit verbreitet sind.

          Warnungen