4 Möglichkeiten, den Bereich einer Funktion zu ermitteln

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4 Möglichkeiten, den Bereich einer Funktion zu ermitteln
4 Möglichkeiten, den Bereich einer Funktion zu ermitteln
Anonim

Der Bereich einer Funktion ist die Menge von Zahlen, die die Funktion erzeugen kann. Mit anderen Worten, es ist der Satz von y-Werten, den Sie erhalten, wenn Sie alle möglichen x-Werte in die Funktion einfügen. Diese Menge möglicher x-Werte wird als Domäne bezeichnet. Wenn Sie wissen möchten, wie Sie den Umfang einer Funktion ermitteln, befolgen Sie einfach diese Schritte.

Schritte

Methode 1 von 4: Den Bereich einer Funktion mit einer Formel ermitteln

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 1

Schritt 1. Schreiben Sie die Formel auf

Nehmen wir an, die Formel, mit der Sie arbeiten, ist die folgende: f(x) = 3x2 + 6x -2. Dies bedeutet, dass Sie Ihren y-Wert erhalten, wenn Sie ein beliebiges x in die Gleichung einsetzen. Dies ist die Funktion einer Parabel.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 2

Schritt 2. Finden Sie den Scheitelpunkt der Funktion, wenn sie quadratisch ist

Wenn Sie mit einer geraden Linie oder einer Funktion mit einem Polynom einer ungeraden Zahl arbeiten, z. B. f(x) = 6x3+2x +7 können Sie diesen Schritt überspringen. Wenn Sie jedoch mit einer Parabel oder einer Gleichung arbeiten, bei der die x-Koordinate quadriert oder auf eine gerade Potenz erhöht wird, müssen Sie den Scheitelpunkt zeichnen. Verwenden Sie dazu einfach die Formel -b/2a, um die x-Koordinate der Funktion 3x. zu erhalten2 + 6x -2, wobei 3 = a, 6 = b und -2 = c. In diesem Fall ist -b -6 und 2a ist 6, also ist die x-Koordinate -6/6 oder -1.

  • Fügen Sie nun -1 in die Funktion ein, um die y-Koordinate zu erhalten. f(-1) = 3(-1)2 + 6(-1) -2 = 3 - 6 -2 = -5.
  • Der Scheitelpunkt ist (-1, -5). Zeichnen Sie es grafisch, indem Sie einen Punkt zeichnen, bei dem die x-Koordinate -1 und die y-Koordinate -5 ist. Es sollte sich im dritten Quadranten des Diagramms befinden.
Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 3

Schritt 3. Finden Sie einige andere Punkte in der Funktion

Um ein Gefühl für die Funktion zu bekommen, sollten Sie einige andere x-Koordinaten eingeben, damit Sie ein Gefühl dafür bekommen, wie die Funktion aussieht, bevor Sie nach dem Bereich suchen. Da es eine Parabel ist und das x2 Koordinate positiv ist, zeigt sie nach oben. Aber nur um Ihre Grundlagen abzudecken, fügen wir einige x-Koordinaten ein, um zu sehen, welche y-Koordinaten sie ergeben:

  • f(-2) = 3(-2)2 + 6(-2) -2 = -2. Ein Punkt im Diagramm ist (-2, -2)
  • f(0) = 3(0)2 + 6(0) -2 = -2. Ein weiterer Punkt im Diagramm ist (0, -2)
  • f(1) = 3(1)2 + 6(1) -2 = 7. Ein dritter Punkt im Graphen ist (1, 7).
Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 4

Schritt 4. Suchen Sie den Bereich im Diagramm

Betrachten Sie nun die y-Koordinaten des Graphen und finden Sie den tiefsten Punkt, an dem der Graph eine y-Koordinate berührt. In diesem Fall befindet sich die niedrigste y-Koordinate am Scheitelpunkt -5, und der Graph erstreckt sich unendlich über diesen Punkt hinaus. Dies bedeutet, dass der Funktionsumfang y = alle reellen Zahlen ≥ -5 ist.

Methode 2 von 4: Den Bereich einer Funktion in einem Graphen ermitteln

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 5

Schritt 1. Finden Sie das Minimum der Funktion

Suchen Sie nach der niedrigsten y-Koordinate der Funktion. Nehmen wir an, die Funktion erreicht ihren tiefsten Punkt bei -3. Diese Funktion könnte auch unendlich kleiner und kleiner werden, so dass sie keinen festgelegten niedrigsten Punkt hat - nur unendlich.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 6

Schritt 2. Finden Sie das Maximum der Funktion

Nehmen wir an, die höchste y-Koordinate, die die Funktion erreicht, ist 10. Diese Funktion könnte auch unendlich größer und größer werden, hat also keinen festgelegten höchsten Punkt - nur unendlich.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 7

Schritt 3. Geben Sie den Bereich an

Dies bedeutet, dass der Bereich der Funktion oder der Bereich der y-Koordinaten von -3 bis 10 reicht. Also -3 f(x) ≤ 10. Das ist der Bereich der Funktion.

  • Aber nehmen wir an, der Graph erreicht seinen tiefsten Punkt bei y = -3, geht aber ewig nach oben. Dann ist der Bereich f(x) ≥ -3 und das war's.
  • Nehmen wir an, der Graph erreicht seinen höchsten Punkt bei 10, geht aber für immer nach unten. Dann ist der Bereich f(x) 10.

Methode 3 von 4: Den Bereich einer Funktion einer Relation ermitteln

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 8

Schritt 1. Schreiben Sie die Beziehung auf

Eine Relation ist eine Menge geordneter Paare mit x- und y-Koordinaten. Sie können eine Relation betrachten und ihren Bereich und ihre Reichweite bestimmen. Angenommen, Sie arbeiten mit der folgenden Beziehung: {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6), (2, 3)}.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 9

Schritt 2. Listen Sie die y-Koordinaten der Relation auf

Um den Bereich der Relation zu ermitteln, schreiben Sie einfach alle y-Koordinaten jedes geordneten Paares auf: {-3, 6, -1, 6, 3}.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 10

Schritt 3. Entfernen Sie alle doppelten Koordinaten, sodass Sie von jeder y-Koordinate nur eine haben

Sie werden feststellen, dass Sie zweimal "6" aufgelistet haben. Nehmen Sie es heraus, sodass Sie {-3, -1, 6, 3} übrig haben.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 11

Schritt 4. Schreiben Sie den Bereich der Relation in aufsteigender Reihenfolge auf

Ordnen Sie nun die Zahlen im Set neu an, sodass Sie von der kleinsten zur größten wechseln und Ihre Reichweite haben. Der Bereich der Relation {(2, –3), (4, 6), (3, –1), (6, 6, (2, 3)} ist {-3, -1, 3, 6}. Sie sind alle fertig.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 12

Schritt 5. Stellen Sie sicher, dass die Relation eine Funktion ist

Damit eine Relation eine Funktion ist, muss jedes Mal, wenn Sie eine Zahl einer x-Koordinate eingeben, die y-Koordinate gleich sein. Zum Beispiel ist die Beziehung {(2, 3) (2, 4) (6, 9)} keine Funktion, denn wenn Sie beim ersten Mal 2 als x eingeben, erhalten Sie eine 3, aber beim zweiten Mal setze eine 2 ein, du hast eine vier. Damit eine Relation eine Funktion ist, sollten Sie immer die gleiche Ausgabe erhalten, wenn Sie dieselbe Eingabe eingeben. Wenn Sie eine -7 eingeben, sollten Sie jedes Mal dieselbe y-Koordinate (was auch immer es sein mag) erhalten.

Methode 4 von 4: Ermitteln des Funktionsumfangs in einer Wortaufgabe

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 13

Schritt 1. Lesen Sie das Problem

Nehmen wir an, Sie arbeiten mit folgendem Problem: „Becky verkauft Tickets für die Talentshow ihrer Schule für jeweils 5 Dollar. Der Geldbetrag, den sie sammelt, hängt davon ab, wie viele Tickets sie verkauft. Welchen Umfang hat die Funktion?"

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 14

Schritt 2. Schreiben Sie das Problem als Funktion

In diesem Fall steht M für den Geldbetrag, den sie sammelt, und t für die Menge der verkauften Tickets. Da jedes Ticket jedoch 5 Dollar kostet, müssen Sie die Anzahl der verkauften Tickets mit 5 multiplizieren, um den Geldbetrag zu ermitteln. Daher kann die Funktion geschrieben werden als M(t) = 5t.

Wenn sie beispielsweise 2 Tickets verkauft, müssen Sie 2 mit 5 multiplizieren, um 10 zu erhalten, den Betrag, den sie erhält

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 15

Schritt 3. Bestimmen Sie die Domäne

Um den Bereich zu bestimmen, müssen Sie zuerst die Domäne finden. Der Definitionsbereich umfasst alle möglichen Werte von t, die in der Gleichung funktionieren. In diesem Fall kann Becky 0 oder mehr Tickets verkaufen - sie kann keine negativen Tickets verkaufen. Da wir die Anzahl der Plätze in ihrer Schulaula nicht kennen, können wir davon ausgehen, dass sie theoretisch unendlich viele Karten verkaufen kann. Und sie kann nur ganze Tickets verkaufen; sie kann zum Beispiel nicht 1/2 eines Tickets verkaufen. Daher ist der Definitionsbereich der Funktion t = eine beliebige nicht negative ganze Zahl.

Finden Sie den Bereich einer Funktion in Math Step 16

Schritt 4. Bestimmen Sie den Bereich

Die Spanne ist der mögliche Geldbetrag, den Becky mit ihrem Verkauf verdienen kann. Sie müssen mit der Domäne arbeiten, um den Bereich zu finden. Wenn Sie wissen, dass der Definitionsbereich eine beliebige nicht negative ganze Zahl ist und die Formel M(t) = 5t, dann wissen Sie, dass Sie jede nicht negative ganze Zahl in diese Funktion einfügen können, um die Ausgabe oder den Bereich zu erhalten. Wenn sie beispielsweise 5 Tickets verkauft, dann ist M(5) = 5 x 5 oder 25 Dollar. Wenn sie 100 verkauft, dann ist M(100) = 5 x 100 oder 500 Dollar. Daher ist der Bereich der Funktion jede nicht negative ganze Zahl, die ein Vielfaches von fünf ist.

Das bedeutet, dass jede nicht negative ganze Zahl, die ein Vielfaches von fünf ist, eine mögliche Ausgabe für die Eingabe der Funktion ist

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Tipps

  • In schwierigeren Fällen kann es einfacher sein, den Graphen zuerst mit der Domäne zu zeichnen (wenn möglich) und dann den Bereich grafisch zu bestimmen.
  • Sehen Sie, ob Sie die Umkehrfunktion finden können. Der Bereich der Umkehrfunktion einer Funktion ist gleich dem Bereich dieser Funktion.
  • Prüfen Sie, ob sich die Funktion wiederholt. Jede Funktion, die sich entlang der x-Achse wiederholt, hat den gleichen Bereich für die gesamte Funktion. Zum Beispiel hat f(x) = sin(x) einen Bereich zwischen -1 und 1.

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