3 Möglichkeiten, die Inverse einer quadratischen Funktion zu finden

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3 Möglichkeiten, die Inverse einer quadratischen Funktion zu finden
3 Möglichkeiten, die Inverse einer quadratischen Funktion zu finden
Anonim

Umkehrfunktionen können bei der Lösung zahlreicher mathematischer Probleme sehr nützlich sein. In der Lage zu sein, eine Funktion zu nehmen und ihre Umkehrfunktion zu finden, ist ein mächtiges Werkzeug. Bei quadratischen Gleichungen kann dies jedoch ein ziemlich komplizierter Vorgang sein. Zuerst müssen Sie die Gleichung sorgfältig definieren und einen geeigneten Bereich und Bereich festlegen. Sie haben dann die Wahl zwischen drei Methoden, um die Umkehrfunktion zu berechnen. Die Wahl der Methode hängt meist von Ihren persönlichen Vorlieben ab.

Schritte

Methode 1 von 3: Finden der Umkehrung einer einfachen Funktion

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 1

Schritt 1. Suchen Sie nach einer Funktion in der Form y=ax2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}

If you have the “right” kind of function to begin, you can find the inverse using some simple algebra. This form is something of a variation of y=ax2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}

. Comparing this to a standard form quadratic function, y=ax2+bx+c{displaystyle y=ax^{2}+bx+c}

, you should notice that the central term, bx{displaystyle bx}

, is missing. Another way to say this is that the value of b is 0. If your function is in this form, finding the inverse is fairly easy.

  • Your beginning function does not have to look exactly like y=ax2+c{displaystyle y=ax^{2}+c}

    . As long as you can look at it and see that the function consists only of x2{displaystyle x^{2}}

    terms and constant numbers, you will be able to use this method.

  • For example, suppose you begin with the equation, 2y−6+x2=y+3x2−4{displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}

    . A quick examination of this equation shows that there are no terms of x{displaystyle x}

    to the first power. This equation is a candidate for this method to find an inverse function.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 2

Schritt 2. Vereinfachen Sie, indem Sie ähnliche Begriffe kombinieren

Die Anfangsgleichung kann mehrere Terme in einer Kombination aus Addition und Subtraktion aufweisen. Ihr erster Schritt besteht darin, ähnliche Terme zu kombinieren, um die Gleichung zu vereinfachen, und sie in das Standardformat y=ax2+c{displaystyle y=ax^{2}+c} umzuschreiben.

  • Taking the sample equation, 2y−6+x2=y+3x2−4{displaystyle 2y-6+x^{2}=y+3x^{2}-4}

    , the y-terms can be consolidated on the left by subtracting a y from both sides. The other terms can be consolidated on the right by adding 6 to both sides and subtracting x^2 from both sides. The resulting equation will be y=2x2+2{displaystyle y=2x^{2}+2}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 3

Schritt 3. Bestimmen Sie den Bereich und den Bereich der vereinfachten Funktion

Denken Sie daran, dass der Definitionsbereich einer Funktion aus den möglichen Werten von x besteht, die angewendet werden können, um eine reelle Lösung bereitzustellen. Der Bereich einer Funktion besteht aus den Werten von y, die sich ergeben. Um den Bereich der Funktion zu bestimmen, suchen Sie nach Werten, die ein mathematisch unmögliches Ergebnis erzeugen. Sie melden dann die Domäne als alle anderen Werte von x. Um den Bereich zu ermitteln, betrachten Sie die Werte von y an beliebigen Randpunkten und betrachten Sie das Verhalten der Funktion.

  • Betrachten Sie die Beispielgleichung y=2x2+2{displaystyle y=2x^{2}+2}

    . There is no limitation on allowable values of x for this equation. However, you should recognize that this is the equation of a parabola, centered at x=0, and a parabola is not a function because it does not consist of a one-to-one mapping of x and y values. To limit this equation and make it a function, for which we can find an inverse, we must define the domain as x≥0.

  • The range is similarly limited. Notice that the first term, 2x2{displaystyle 2x^{2}}

    , will always be positive or 0, for any value of x. When the equation then adds +2, the range will be any values y≥2.

  • Defining the domain and range at this early stage is necessary. You will use these definitions later in defining the domain and range of the inverse function. In fact, the domain of the original function will become the range of the inverse function, and the range of the original will become the domain of the inverse.
Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 4

Schritt 4. Wechseln Sie die Rollen der x- und y-Terme

Ohne die Gleichung auf andere Weise zu ändern, müssen Sie alle Erscheinungen von y durch ein x und alle Erscheinungen von x durch ein y ersetzen. Dies ist der Schritt, der die Gleichung tatsächlich „umkehrt“.

  • Arbeiten mit der Beispielgleichung y=2x2+2{displaystyle y=2x^{2}+2}

    , this inversion step will result in the new equation of x=2y2+2{displaystyle x=2y^{2}+2}

  • An alternate format is to replace the y terms with x, but replace the x terms with either y−1{displaystyle y^{-}1}

    or f(x)−1{displaystyle f(x)^{-}1}

    to indicate the inverse function.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 5

Schritt 5. Schreiben Sie die invertierte Gleichung in Bezug auf y um

Wenn Sie eine Kombination algebraischer Schritte verwenden und darauf achten, dieselbe Operation gleichmäßig auf beiden Seiten der Gleichung auszuführen, müssen Sie die y-Variable isolieren. Für die Arbeitsgleichung x=2y2+2{displaystyle x=2y^{2}+2}

, this revision will look like the following:

  • x=2y2+2{displaystyle x=2y^{2}+2}

    (original starting point)

  • x−2=2y2{displaystyle x-2=2y^{2}}

    (subtract 2 from both sides)

  • x−22=y2{displaystyle {frac {x-2}{2}}=y^{2}}

    (divide both sides by 2)

  • ±x−22=y{displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}

    (square root of both sides; remember that the square root results in both positive and negative possible answers)

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 6

Schritt 6. Bestimmen Sie den Bereich und den Bereich der Umkehrfunktion

Untersuchen Sie wie am Anfang die invertierte Gleichung, um ihren Bereich und ihren Bereich zu definieren. Mit zwei möglichen Lösungen wählen Sie diejenige aus, die eine Domäne und einen Bereich hat, die invers zu der ursprünglichen Domäne und dem ursprünglichen Bereich sind.

  • Untersuchen Sie die Beispielgleichungslösung von ±x−22=y{displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}

    . Because the square root function is not defined for any negative values, the term x−22{displaystyle {frac {x-2}{2}}}

    must always be positive. Therefore, allowable values of x (the domain) must be x≥2. Using that as the domain, the resulting values of y (the range) are either all values y≥0, if you take the positive solution of the square root, or y≤0, if you select the negative solution of the square root. Recall that you originally defined the domain as x≥0, in order to be able to find the inverse function. Therefore, the correct solution for the inverse function is the positive option.

  • Compare the domain and range of the inverse to the domain and range of the original. Recall that for the original function, y=2x2+2{displaystyle y=2x^{2}+2}

    , the domain was defined as all values of x≥0, and the range was defined as all values y≥2. For the inverse function, now, these values switch, and the domain is all values x≥2, and the range is all values of y≥0.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 7

Schritt 7. Überprüfen Sie, ob Ihre Umkehrfunktion funktioniert

Um sicherzustellen, dass Ihre Arbeit korrekt ist und Ihre Umkehrung die richtige Gleichung ist, wählen Sie einen beliebigen Wert für x und setzen Sie ihn in die ursprüngliche Gleichung ein, um y zu finden. Setzen Sie dann diesen Wert von y an die Stelle von x in Ihre inverse Gleichung und sehen Sie, ob Sie die Zahl generieren, mit der Sie begonnen haben. Wenn ja, ist Ihre Umkehrfunktion korrekt.

  • Wählen Sie als Beispiel den Wert x=1 aus, der in die ursprüngliche Gleichung y=2x2+2{displaystyle y=2x^{2}+2} eingefügt werden soll.

    . This gives the result y=4.

  • Next, place that value of 4 into the inverse function x−22=y{displaystyle {sqrt {frac {x-2}{2}}}=y}

    . This does give the result of y=1. You can conclude that your inverse function is correct.

Method 2 of 3: Completing the Square to Determine the Inverse Function

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 8

Schritt 1. Stellen Sie die quadratische Gleichung in der richtigen Form auf

Um die Umkehrung zu finden, müssen Sie mit der Gleichung im Format f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} beginnen.

. If necessary, you may need to combine similar terms to get the equation into this format. With the equation written this way, you can begin to tell some information about it.

The first thing to notice is the value of the coefficient a. If a>0, then the equation defines a parabola whose ends point upward. If a<0, the equation defines a parabola whose ends point downward. Notice that a≠0. If it did, then this would be a linear function and not quadratic

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 9

Schritt 2. Erkennen Sie das Standardformat des Quadrats

Bevor Sie die Umkehrfunktion finden können, müssen Sie Ihre Gleichung in das Standardformat umschreiben. Das Standardformat für jede quadratische Funktion ist f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}

. The numerical terms a, h and k will be developed as you transform the equation through a process known as completing the square.

  • Notice that this standard format consists of a perfect square term, (x−h)2{displaystyle (x-h)^{2}}

    , which is then adjusted by the other two elements a and k. To get to this perfect square form, you will need to create certain conditions in your quadratic equation.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 10

Schritt 3. Erinnern Sie sich an die Form einer perfekten quadratischen quadratischen Funktion

Denken Sie daran, dass eine quadratische Funktion, die ein perfektes Quadrat ist, von zwei Binomialen von (x+b)(x+b){displaystyle (x+b)(x+b)}

, or (x+b)2{displaystyle (x+b)^{2}}

. When you perform this multiplication, you get a result of x2+2bx+b2{displaystyle x^{2}+2bx+b^{2}}

. Thus, the first term of the quadratic is the first term of the binomial, squared, and the last term of the quadratic is the square of the second term of the binomial. The middle term is comprised of 2 times the product of the two terms, in this case 2∗x∗b{displaystyle 2*x*b}

  • To complete the square, you will be working in reverse. You will start with x2{displaystyle x^{2}}

    and some second x-term. From the coefficient of that term, which you can define as “2b,” you will need to find b2{displaystyle b^{2}}

    . This will require a combination of dividing by two and then squaring that result.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 11

Schritt 4. Stellen Sie sicher, dass der Koeffizient auf x2{displaystyle x^{2}}

is 1.

Recall the original form of the quadratic function ax2+bx+c{displaystyle ax^{2}+bx+c}

. If the first coefficient is anything other than 1, then you must divide all terms by that value, to set a=1.

  • For example, consider the quadratic function f(x)=2x2+6x−4{displaystyle f(x)=2x^{2}+6x-4}

    . You must simplify this by dividing all terms by 2, to yield the resulting function f(x)=2(x2+3x−2){displaystyle f(x)=2(x^{2}+3x-2)}

    . The coefficient 2 will remain outside of the parentheses and will be part of your final solution.

  • If all terms are not multiples of a, you will wind up with fractional coefficients. For example, the function f(x)=3x2−2x+6{displaystyle f(x)=3x^{2}-2x+6}

    will simplify to f(x)=3(x2−2x3+2){displaystyle f(x)=3(x^{2}-{frac {2x}{3}}+2)}

    . Work carefully with the fractions as necessary.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 12

Schritt 5. Finden Sie die Hälfte des mittleren Koeffizienten und quadrieren Sie ihn

Sie haben bereits die ersten beiden Terme des perfekten quadratischen Quadrats. Dies sind die x2{displaystyle x^{2}}

term and whatever coefficient appears in front of the x-term. By taking that coefficient to be whatever value it is, you will add or subtract whatever number is necessary to create a perfect square quadratic. Recall from above that the required third term of the quadratic is this second coefficient, divided by two, and then squared.

  • For example, if the first two terms of your quadratic function are x2+3x{displaystyle x^{2}+3x}

    , you will find the needed third term by dividing 3 by 2, which gives the result 3/2, and then squaring that, to get 9/4. The quadratic x2+3x+9/4{displaystyle x^{2}+3x+9/4}

    is a perfect square.

  • As another example, suppose your first two terms are x2−4x{displaystyle x^{2}-4x}

    . Half of the middle term is -2, and then you square that to get 4. The resulting perfect square quadratic is x2−4x+4{displaystyle x^{2}-4x+4}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 13

Schritt 6. Addiere UND subtrahiere gleichzeitig den benötigten dritten Term

Dies ist ein kniffliges Konzept, aber es funktioniert. Indem Sie dieselbe Zahl an verschiedenen Stellen Ihrer Funktion addieren und subtrahieren, ändern Sie den Wert der Funktion wirklich nicht. Auf diese Weise können Sie Ihre Funktion jedoch in das richtige Format bringen.

  • Angenommen, Sie haben die Funktion f(x)=x2−4x+9{displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}

    . As noted above, you will use the first two terms to work on completing the square. Using the middle term of -4x, you will generate a third term of +4. Add and subtract 4 to the equation, in the form f(x)=(x2−4x+4)+9−4{displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+9-4}

    . The parentheses are placed just to define the perfect square quadratic that you are creating. Notice the +4 inside the parentheses and the -4 on the outside. Simplify the numbers to give the result of f(x)=(x2−4x+4)+5{displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 14

Schritt 7. Faktorisieren Sie das perfekte quadratische Quadrat

Das Polynom innerhalb der Klammern sollte ein perfektes quadratisches Quadrat sein, das Sie in der Form (x+b)2{displaystyle (x+b)^{2}} umschreiben können

. In the example from the prior step, f(x)=(x2−4x+4)+5{displaystyle f(x)=(x^{2}-4x+4)+5}

, the quadratic factors into (x−2)2{displaystyle (x-2)^{2}}

. Carry along the rest of the equation, so your solution will be f(x)=(x−2)2+5{displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}

. This is the same function as your original quadratic, f(x)=x2−4x+9{displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}

, simply revised into standard f(x)=a(x−h)2+k{displaystyle f(x)=a(x-h)^{2}+k}

form.

Notice that for this function, a=1, h=2, and k=5. The value of writing the equation in this form is that a, being positive, tells you that the parabola points upward. The values of (h, k) tell you the apex point at the bottom of the parabola, if you wanted to graph it

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 15

Schritt 8. Definieren Sie die Domäne und den Bereich der Funktion

Die Domäne ist die Menge von x-Werten, die als Eingabe in die Funktion verwendet werden können. Der Bereich ist der Satz von y-Werten, der das Ergebnis sein kann. Denken Sie daran, dass eine Parabel keine Funktion mit einer definierbaren Inversen ist, da es aufgrund der Symmetrie der Parabel keine Eins-zu-Eins-Abbildung von x-Werten auf y-Werte gibt. Um dieses Problem zu lösen, müssen Sie den Definitionsbereich als alle Werte von x definieren, die größer sind als x=h, dem Scheitelpunkt der Parabel.

  • Arbeiten Sie weiter mit der Beispielfunktion f(x)=(x−2)2+5{displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}

    . Because this is in standard format, you can identify the apex point as x=2, y=5. Thus, to avoid the symmetry, you will only work with the right-side of the graph, and set the domain as all values x≥2. Inserting the value x=2 into the function gives the result of y=5. You can see that the values of y will increase as x increases. Therefore the range of this equation is y≥5.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 16

Schritt 9. Wechseln Sie die x- und y-Werte

Dies ist der Schritt, in dem Sie beginnen, die invertierte Form der Gleichung zu finden. Lassen Sie die Gleichung vollständig, außer dass Sie diese Variablen vertauschen.

  • Arbeite weiter mit der Funktion f(x)=(x−2)2+5{displaystyle f(x)=(x-2)^{2}+5}

    . Insert x in place of f(x), and insert y (or f(x), if you prefer) in place of x. This will yield the new function x=(y−2)2+5{displaystyle x=(y-2)^{2}+5}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 17

Schritt 10. Schreiben Sie die invertierte Gleichung in Bezug auf y um

Wenn Sie eine Kombination algebraischer Schritte verwenden und darauf achten, dieselbe Operation gleichmäßig auf beiden Seiten der Gleichung auszuführen, müssen Sie die y-Variable isolieren. Für die Arbeitsgleichung x=(y−2)2+5{displaystyle x=(y-2)^{2}+5}

, this revision will look like the following:

  • x=(y−2)2+5{displaystyle x=(y-2)^{2}+5}

    (original starting point)

  • x−5=(y−2)2{displaystyle x-5=(y-2)^{2}}

    (subract 5 from both sides)

  • ±x−5=y−2{displaystyle {sqrt {x-5}}=y-2}

    (square root of both sides; remember that the square root results in both positive and negative possible answers)

  • ±x−5+2=y{displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}

    (add 2 to both sides)

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 18

Schritt 11. Bestimmen Sie den Bereich und den Bereich der Umkehrfunktion

Untersuchen Sie wie am Anfang die invertierte Gleichung, um ihren Bereich und ihren Bereich zu definieren. Mit zwei möglichen Lösungen wählen Sie diejenige aus, die eine Domäne und einen Bereich hat, die invers zu der ursprünglichen Domäne und dem ursprünglichen Bereich sind.

  • Untersuchen Sie die Beispielgleichungslösung von ±x−5+2=y{displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}

    . Because the square root function is not defined for any negative values, the term x−5{displaystyle {x-5}}

    must always be positive. Therefore, allowable values of x (the domain) must be x≥5. Using that as the domain, the resulting values of y (the range) are either all values y≥2, if you take the positive solution of the square root, or y≤2 if you select the negative solution of the square root. Recall that you originally defined the domain as x≥2, in order to be able to find the inverse function. Therefore, the correct solution for the inverse function is the positive option.

  • Compare the domain and range of the inverse to the domain and range of the original. Recall that for the original function the domain was defined as all values of x≥2, and the range was defined as all values y≥5. For the inverse function, now, these values switch, and the domain is all values x≥5, and the range is all values of y≥2.
Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 19

Schritt 12. Überprüfen Sie, ob Ihre Umkehrfunktion funktioniert

Um sicherzustellen, dass Ihre Arbeit korrekt ist und Ihre Umkehrung die richtige Gleichung ist, wählen Sie einen beliebigen Wert für x und setzen Sie ihn in die ursprüngliche Gleichung ein, um y zu finden. Setzen Sie dann diesen Wert von y an die Stelle von x in Ihre inverse Gleichung und sehen Sie, ob Sie die Zahl generieren, mit der Sie begonnen haben. Wenn ja, ist Ihre Umkehrfunktion korrekt.

  • Wählen Sie als Beispiel den Wert x=3, um ihn in die ursprüngliche Gleichung einzufügen f(x)=x2−4x+9{displaystyle f(x)=x^{2}-4x+9}

    . This gives the result y=6.

  • Next, place that value of 6 into the inverse function x−5+2=y{displaystyle {sqrt {x-5}}+2=y}

    . This does give the result of y=3, which is the number you started with. You can conclude that your inverse function is correct.

Method 3 of 3: Using the Quadratic Formula

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 20

Schritt 1. Erinnere dich an die quadratische Formel zum Lösen von x

Denken Sie daran, dass beim Lösen quadratischer Gleichungen eine Methode darin bestand, sie nach Möglichkeit zu faktorisieren. Wenn die Faktorisierung nicht funktioniert, können Sie auf die Quadratische Formel zurückgreifen, die die reellen Lösungen für jede quadratische Formel liefert. Sie können die Quadratische Formel als eine weitere Methode verwenden, um Umkehrfunktionen zu finden.

  • Die quadratische Formel lautet x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a.
  • Beachten Sie, dass die Quadratische Formel zu zwei möglichen Lösungen führt, eine positive und eine negative. Sie treffen diese Auswahl basierend auf der Definition von Domäne und Umfang der Funktion.
Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 21

Schritt 2. Beginnen Sie mit einer quadratischen Gleichung, um die Umkehrung zu finden

Ihre quadratische Gleichung muss im Format f(x)=ax2+bx+c{displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} beginnen.

. Take whatever algebraic steps you must in order to get your equation into that form.

  • For this section of this article, use the sample equation f(x)=x2+2x−3{displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 22

Schritt 3. Zeichnen Sie die Gleichung, um die Domäne und den Bereich zu definieren

Bestimmen Sie den Graphen der Funktion, indem Sie entweder einen Grafikrechner verwenden oder einfach verschiedene Punkte zeichnen, bis die Parabel erscheint. Sie werden feststellen, dass diese Gleichung eine Parabel mit ihrem Scheitelpunkt bei (-1, -4) definiert. Um dies als eine Funktion zu definieren, die eine Inverse hat, definieren Sie den Bereich als alle Werte von x≤-1. Der Bereich beträgt dann alle y≥-4.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 23

Schritt 4. Vertauschen Sie die Variablen x und y

Um mit der Suche nach der Umkehrung zu beginnen, vertauschen Sie die Variablen x und y. Lassen Sie die Gleichung unverändert, mit Ausnahme der Umkehrung der Variablen. In diesem Stadium ersetzen Sie x durch f(x).

  • Mit der Arbeitsgleichung f(x)=x2+2x−3{displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}

    , this will give the result x=y2+2y−3{displaystyle x=y^{2}+2y-3}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 24

Schritt 5. Setzen Sie die linke Seite der Gleichung gleich 0

Denken Sie daran, dass Sie zur Verwendung der quadratischen Formel Ihre Gleichung gleich 0 setzen und dann die Koeffizienten in der Formel verwenden müssen. In ähnlicher Weise beginnt diese Methode zum Auffinden einer Umkehrfunktion, indem die Gleichung gleich 0 gesetzt wird.

  • Um für die Beispielgleichung die linke Seite gleich 0 zu erhalten, müssen Sie x von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren. Dies ergibt das Ergebnis 0=y2+2y−3−x{displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 25

Schritt 6. Definieren Sie die Variablen neu, damit sie der quadratischen Formel entsprechen

Dieser Schritt ist etwas knifflig. Denken Sie daran, dass die quadratische Formel nach x auflöst, in der Gleichung 0=ax2+bx+c{displaystyle 0=ax^{2}+bx+c}

. So, to get the equation you currently have, 0=y2+2y−3−x{displaystyle 0=y^{2}+2y-3-x}

, to match that format, you need to redefine terms as follows:

  • Let y2=ax2{displaystyle y^{2}=ax^{2}}

    . Therefore, x=1

  • Let 2y=bx{displaystyle 2y=bx}

    . Therefore, b=2

  • Let (−3−x)=c{displaystyle (-3-x)=c}

    . Therefore, c=(-3-x)

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 26

Schritt 7. Lösen Sie die quadratische Formel mit diesen neu definierten Werten

Normalerweise würden Sie die Werte von a, b und c in die Quadratische Formel einsetzen, um nach x aufzulösen. Denken Sie jedoch daran, dass Sie zuvor x und y vertauscht haben, um die Umkehrfunktion zu finden. Wenn Sie also die Quadratische Formel verwenden, um nach x aufzulösen, lösen Sie wirklich nach y oder der f-Inversen auf. Die Schritte zum Lösen der quadratischen Formel funktionieren wie folgt:

  • x=[-b±√(b^2-4ac)]/2a
  • x=(-2)±√((-2)^2-4(1)(-3-x)) / 2(1)
  • x=((-2)±√(4+12+4x))/2
  • x=(-2±√(16+4x))/2
  • x=(-2±√(4)(4+x))/2
  • x=-2±2√(4+x))/2
  • x=-1±√(4+x)
  • f-invers = -1±√(4+x) (Dieser letzte Schritt ist möglich, weil Sie zuvor x an die Stelle der Variablen f(x) gesetzt haben.)
Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 27

Schritt 8. Schreiben Sie die beiden möglichen Lösungen auf

Beachten Sie, dass die Quadratische Formel mit dem ±-Symbol zwei mögliche Ergebnisse liefert. Schreiben Sie die beiden getrennten Lösungen auf, um die Definition der Domäne und des Bereichs zu erleichtern und die richtige endgültige Lösung zu erstellen. Diese beiden Lösungen sind:

  • f−1=−1+4+x{displaystyle f^{-1}=-1+{sqrt {4+x}}}

  • f−1=−1−4+x{displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 28

Schritt 9. Definieren Sie den Bereich und den Bereich der Umkehrfunktion

Beachten Sie, dass der Definitionsbereich x≥-4 sein muss, damit die Quadratwurzel definiert werden kann. Denken Sie daran, dass der Bereich der ursprünglichen Funktion x≤-1 und der Bereich y≥-4 war. Um die passende Umkehrfunktion zu wählen, müssen Sie die zweite Lösung wählen, f−1=−1−4+x{displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}

as the correct inverse function.

Finden Sie die Inverse einer quadratischen Funktion Schritt 29

Schritt 10. Überprüfen Sie, ob Ihre Umkehrfunktion funktioniert

Um sicherzustellen, dass Ihre Arbeit korrekt ist und Ihre Umkehrung die richtige Gleichung ist, wählen Sie einen beliebigen Wert für x und setzen Sie ihn in die ursprüngliche Gleichung ein, um y zu finden. Setzen Sie dann diesen Wert von y an die Stelle von x in Ihre inverse Gleichung und sehen Sie, ob Sie die Zahl generieren, mit der Sie begonnen haben. Wenn ja, ist Ihre Umkehrfunktion korrekt.

  • Unter Verwendung der Originalfunktion f(x)=x2+2x−3{displaystyle f(x)=x^{2}+2x-3}

    , choose x=-2. this will give the result of y=-3. now put the value of x=-3 into the inverse function, f−1=−1−4+x{displaystyle f^{-1}=-1-{sqrt {4+x}}}

    . this turns out the result of -2, which is indeed the value that you started with. therefore, your definition of the inverse function is correct.

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