Eine rationale Funktion ist eine mathematische Funktion (Gleichung), die ein Verhältnis zwischen zwei Polynomen enthält. Das heißt, es muss eine Form eines Bruchs geben, der mehr als nur die Koeffizienten umfasst. Somit ist y=1/2x+2{displaystyle y=1/2x+2}
is not a rational function, because the only fraction is a coefficient term. However, y=3x−1x2+2x+1{displaystyle y={frac {3x-1}{x^{2}+2x+1}}}
is a rational function. A vertical asymptote is is a representation of values that are not solutions to the equation, but they help in defining the graph of solutions.
Steps
Part 1 of 2: Finding Vertical Asymptotes
Schritt 1. Faktorisieren Sie den Nenner der Funktion
Um die Funktion zu vereinfachen, müssen Sie den Nenner so weit wie möglich in seine Faktoren zerlegen. Um Asymptoten zu finden, können Sie den Zähler meist ignorieren.
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Angenommen, Sie beginnen mit der Funktion x−25x2+5x{displaystyle {frac {x-2}{5x^{2}+5x}}}
. The denominator 5x2+5x{displaystyle 5x^{2}+5x}
can be factored into the two terms (5x)(x+1){displaystyle (5x)(x+1)}
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As another example, consider the function y=3x+1x2+2x+1{displaystyle y={frac {3x+1}{x^{2}+2x+1}}}
. You should recognize the denominator as a simple quadratic function, which can be factored into (x+1)(x+1){displaystyle (x+1)(x+1)}
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Recognize that some denominator functions may not be able to be factored. For example, in the equation y=x2−2x2+3x−1{displaystyle y={frac {x^{2}-2}{x^{2}+3x-1}}}
the function in the denominator, x2+3x−1{displaystyle x^{2}+3x-1}
cannot be factored. For this first step, you will just have to leave it in that form.
- If you need to review factoring of functions, check out the articles Factor Algebraic Equations or Factor Second Degree Polynomials (Quadratic Equations).
Schritt 2. Finden Sie Werte, deren Nenner gleich 0 ist
Ohne den Zähler der Funktion zu berücksichtigen, setze den faktorisierten Nenner gleich 0 und löse nach x auf. Denken Sie daran, dass Faktoren Terme sind, die sich multiplizieren, und um einen Endwert von 0 zu erhalten, wird das Problem durch Setzen eines beliebigen Faktors auf 0 gelöst. Abhängig von der Anzahl der vorhandenen Faktoren können Sie eine oder mehrere Lösungen finden.
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Zum Beispiel, wenn eine Nennerfunktion faktorisiert als (5x)(x+1){displaystyle (5x)(x+1)}
then you would set this equal to 0 as (5x)(x+1)=0{displaystyle (5x)(x+1)=0}
. The solutions will be any values of x that make this true. To find those values, set each individual factor equal to 0, to create two mini-problems of 5x=0{displaystyle 5x=0}
and x+1=0{displaystyle x+1=0}
. The first solution is x=0{displaystyle x=0}
and the second is x=−1{displaystyle x=-1}
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Given another example with a denominator of x2+5x+6{displaystyle x^{2}+5x+6}
this could be factored into the two terms (x+3)(x+2){displaystyle (x+3)(x+2)}
. Setting each factor equal to 0 leads to x+3=0{displaystyle x+3=0}
and x+2=0{displaystyle x+2=0}
. Therefore, the solutions for this problem would be x=−3{displaystyle x=-3}
and x=−2{displaystyle x=-2}
Schritt 3. Verstehen Sie die Bedeutung der Lösungen
Die Arbeit, die Sie bis zu diesem Punkt geleistet haben, identifiziert Werte von x, für die der Nenner der Funktion gleich 0 ist. Beachten Sie, dass eine rationale Funktion in Wirklichkeit ein großes Divisionsproblem ist, bei dem der Wert des Zählers durch den Wert des Nenners geteilt wird. Da die Division durch 0 nicht definiert ist, stellt jeder Wert für x, für den der Nenner gleich 0 ist, eine vertikale Asymptote für die vollständige Funktion dar.
Teil 2 von 2: Vertikale Asymptoten grafisch darstellen
Schritt 1. Überprüfen Sie die Bedeutung eines Diagramms
Ein Funktionsgraph ist eine visuelle Darstellung der Werte von x und y, die Lösungen einer gegebenen Gleichung sind. Der Graph kann aus einzelnen Punkten, einer geraden Linie, einer gekrümmten Linie oder sogar einigen geschlossenen Figuren wie einem Kreis oder einer Ellipse bestehen. Jeder Punkt, der auf der Linie liegt, könnte eine Lösung der Gleichung sein.
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Zum Beispiel eine einfache Gleichung wie y=2x{displaystyle y=2x}
will have infinite solutions. Written in pairs of (x, y), some possible solutions are (1, 2), (2, 4), (3, 6), or any pair of numbers in which the second number is double the first. Plotting these points on the x, y coordinate plane will show a continuous straight line that appears as a diagonal that goes upward from left to right. To see more samples of this type of graph, you may want to review Graph Linear Equations.
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A graph of a quadratic equation is one that has an exponent of 2, such as y=x2+2x−1{displaystyle y=x^{2}+2x-1}
. Some sample solutions are (-1, -2), (0, -1), (1, 1), (2, 7). If you plot these points, and others, you will find the graph of a parabola, which is a u-shaped curve. To review this type of graph, you can look at Graph a Quadratic Equation.
- If you need more help reviewing how to graph functions, read Graph a Function or Graph a Rational Function.
Schritt 2. Asymptoten erkennen
Eine Asymptote ist eine Gerade, die im Allgemeinen als eine Art Grenze für den Graphen einer Funktion dient. Eine Asymptote kann vertikal, horizontal oder in einem beliebigen Winkel sein. Die Asymptote stellt Werte dar, die keine Lösungen der Gleichung sind, aber eine Grenze von Lösungen sein könnten.
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Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung y=1x{displaystyle y={frac {1}{x}}}
. If you begin at the value x=3 and count down to select some solutions for this equation, you will get solutions of (3, 1/3), (2, 1/2), and (1, 1). If you continue counting down, the next value for x would be 0, but this would create the fraction y=1/0. Because division by 0 is undefined, this cannot be a solution to the function. Therefore, the value of x=0 is a vertical asymptote for this equation.
Schritt 3. Zeichnen Sie vertikale Asymptoten mit einer gepunkteten Linie
Wenn Sie die Lösung einer Funktion grafisch darstellen und die Funktion eine vertikale Asymptote hat, zeichnen Sie diese normalerweise grafisch, indem Sie eine gepunktete Linie an diesem Wert zeichnen. Im Beispiel von y=1x{displaystyle y={frac {1}{x}}}
