Polynome lösen: 13 Schritte (mit Bildern)

Inhaltsverzeichnis:

Polynome lösen: 13 Schritte (mit Bildern)
Polynome lösen: 13 Schritte (mit Bildern)
Anonim

Ein Polynom ist ein Ausdruck, der aus Addieren und Subtrahieren von Termen besteht. Ein Term kann aus Konstanten, Koeffizienten und Variablen bestehen. Beim Lösen von Polynomen versucht man normalerweise herauszufinden, für welche x-Werte y=0 ist. Polynome niedrigeren Grades haben null, eine oder zwei reelle Lösungen, je nachdem, ob es sich um lineare Polynome oder quadratische Polynome handelt. Diese Arten von Polynomen können mit einfachen Algebra- und Faktorisierungsmethoden leicht gelöst werden. Hilfe zum Lösen von Polynomen höheren Grades finden Sie unter Lösen von Polynomen höheren Grades.

Schritte

Methode 1 von 2: Lösen eines linearen Polynoms

Polynome lösen Schritt 1

Schritt 1. Bestimmen Sie, ob Sie ein lineares Polynom haben

Ein lineares Polynom ist ein Polynom ersten Grades. Dies bedeutet, dass keine Variable einen Exponenten größer als eins hat. Da es sich um ein Polynom ersten Grades handelt, hat es genau eine reelle Nullstelle oder Lösung.

  • Beispiel: 5x+2{displaystyle 5x+2}

    is a linear polynomial, because the variable x{displaystyle x}

    has no exponent (which is the same as an exponent of 1).

Polynome lösen Schritt 2

Schritt 2. Setzen Sie die Gleichung auf Null

Dies ist ein notwendiger Schritt, um alle Polynome zu lösen.

  • Zum Beispiel 5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}

Polynome lösen Schritt 3

Schritt 3. Isolieren Sie den variablen Begriff

Addieren oder subtrahieren Sie dazu die Konstante von beiden Seiten der Gleichung. Eine Konstante ist ein Term ohne Variable.

  • Um zum Beispiel das x{displaystyle x} zu isolieren

    term in 5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}

    , you would subtract 2{displaystyle 2}

    from both sides of the equation:

    5x+2=0{displaystyle 5x+2=0}

    5x+2−2=0−2{displaystyle 5x+2-2=0-2}

    5x=−2{displaystyle 5x=-2}

Polynome lösen Schritt 4

Schritt 4. Lösen Sie nach der Variablen auf

Normalerweise müssen Sie jede Seite der Gleichung durch den Koeffizienten dividieren. Dadurch erhalten Sie die Wurzel oder Lösung Ihres Polynoms.

  • Um zum Beispiel nach x{displaystyle x} aufzulösen

    in 5x=−2{displaystyle 5x=-2}

    , you would divide each side of the equation by 5{displaystyle 5}

    :

    5x=−2{displaystyle 5x=-2}

    5x5=−25{displaystyle {frac {5x}{5}}={frac {-2}{5}}}

    x=−25{displaystyle x={frac {-2}{5}}}

    So, the solution to 5x+2{displaystyle 5x+2}

    is x=−25{displaystyle x={frac {-2}{5}}}

Method 2 of 2: Solving a Quadratic Polynomial

Polynome lösen Schritt 5

Schritt 1. Bestimmen Sie, ob Sie ein quadratisches Polynom haben

Ein quadratisches Polynom ist ein Polynom zweiten Grades. Dies bedeutet, dass keine Variable einen Exponenten größer als 2 hat. Da es sich um ein Polynom zweiten Grades handelt, hat es zwei reelle Nullstellen oder Lösungen.

  • Beispiel: x2+8x−20{displaystyle x^{2}+8x-20}

    is a quadratic polynomial, because the variable x{displaystyle x}

    has an exponent of 2{displaystyle 2}

Polynome lösen Schritt 6

Schritt 2. Stellen Sie sicher, dass das Polynom in Gradreihenfolge geschrieben ist

Dies bedeutet, dass der Term mit dem Exponenten von 2{displaystyle 2}

is listed first, followed by the first-degree term, followed by the constant.

  • For example, you would rewrite 8x+x2−20{displaystyle 8x+x^{2}-20}

    as x2+8x−20{displaystyle x^{2}+8x-20}

Polynome lösen Schritt 7

Schritt 3. Setzen Sie die Gleichung auf Null

Dies ist ein notwendiger Schritt, um alle Polynome zu lösen.

  • Zum Beispiel x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}

Polynome lösen Schritt 8

Schritt 4. Schreiben Sie den Ausdruck in einen Ausdruck mit vier Begriffen um

Teilen Sie dazu den Term ersten Grades (das x{displaystyle x}

term). You are looking for two numbers whose sum is equal to the first degree coefficient, and whose product is equal to the constant.

  • For example, for the quadratic polynomial x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}

    , you need to find two numbers (a{displaystyle a}

    and b{displaystyle b}

    ), where a+b=8{displaystyle a+b=8}

    , and a⋅b=−20{displaystyle a\cdot b=-20}

  • Since you have −20{displaystyle -20}

    , you know that one of the number will be negative.

  • You should see that 10+(−2)=8{displaystyle 10+(-2)=8}

    and 10⋅(−2)=−20{displaystyle 10\cdot (-2)=-20}

    . Thus, you will split up 8x{displaystyle 8x}

    into 10x−2x{displaystyle 10x-2x}

    and rewrite the quadratic polynomial: x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}

Polynome lösen Schritt 9

Schritt 5. Faktorisieren durch Gruppieren

Um dies zu tun, klammern Sie einen Term aus, der den ersten beiden Termen des Polynoms gemeinsam ist.

  • Zum Beispiel die ersten beiden Terme im Polynom x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}

    are x2+10x{displaystyle x^{2}+10x}

    . A term common to both is x{displaystyle x}

    . Thus, the factored group is x(x+10){displaystyle x(x+10)}

Polynome lösen Schritt 10

Schritt 6. Faktorisieren Sie die zweite Gruppe

Um dies zu tun, ziehe einen Term heraus, der den beiden zweiten Termen des Polynoms gemeinsam ist.

  • Zum Beispiel die zweiten beiden Terme im Polynom x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}

    are −2x−20{displaystyle -2x-20}

    . A term common to both is −2{displaystyle -2}

    . Thus, the factored group is −2(x+10){displaystyle -2(x+10)}

Polynome lösen Schritt 11

Schritt 7. Schreiben Sie das Polynom in zwei Binome um

Ein Binomial ist ein Ausdruck mit zwei Begriffen. Sie haben bereits ein Binomial, das ist der Ausdruck in Klammern für jede Gruppe. Dieser Ausdruck sollte für jede Gruppe gleich sein. Das zweite Binomial wird durch Kombinieren der beiden Terme gebildet, die aus jeder Gruppe herausgefiltert wurden.

  • Zum Beispiel nach der Faktorisierung durch Gruppierung x2+10x−2x−20=0{displaystyle x^{2}+10x-2x-20=0}

    becomes x(x+10)−2(x+10)=0{displaystyle x(x+10)-2(x+10)=0}

  • The first binomial is (x+10){displaystyle (x+10)}

  • The second binomial is (x−2){displaystyle (x-2)}

  • So the original quadratic polynomial, x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}

    can be written as the factored expression (x+10)(x−2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}

Polynome lösen Schritt 12

Schritt 8. Finden Sie die erste Wurzel oder Lösung

Lösen Sie dazu nach x{displaystyle x} auf

in the first binomial.

  • For example, to find the first root for (x+10)(x−2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}

    , you would first set the first binomial expression to 0{displaystyle 0}

    and solve for x{displaystyle x}

    . Thus:

    x+10=0{displaystyle x+10=0}

    x+10−10=0−10{displaystyle x+10-10=0-10}

    x=−10{displaystyle x=-10}

    So, the first root of the quadratic polynomial x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}

    is −10{displaystyle -10}

Polynome lösen Schritt 13

Schritt 9. Finden Sie die zweite Wurzel oder Lösung

Lösen Sie dazu nach x{displaystyle x} auf

in the second binomial.

  • For example, to find the second root for (x+10)(x−2)=0{displaystyle (x+10)(x-2)=0}

    , you would set the second binomial expression to 0{displaystyle 0}

    and solve for x{displaystyle x}

    . Thus:

    x−2=0{displaystyle x-2=0}

    x−2+2=0+2{displaystyle x-2+2=0+2}

    x=2{displaystyle x=2}

    So, the second root of the quadratic polynomial x2+8x−20=0{displaystyle x^{2}+8x-20=0}

    is 2{displaystyle 2}

    2 />
<p>.</li>
</ul>
<h2>Video – Durch die Nutzung dieses Dienstes können einige Informationen an YouTube weitergegeben werden.</h2>
<iframe-src=

    Tipps

    • Machen Sie sich keine Sorgen, wenn Sie verschiedene Variablen wie t erhalten oder wenn Sie eine Gleichung sehen, die auf f(x) anstelle von 0 gesetzt ist. Wenn die Frage Wurzeln, Nullen oder Faktoren erfordert, behandeln Sie sie einfach wie jedes andere Problem.
    • Merken Sie sich die Reihenfolge der Operationen, während Sie arbeiten – Arbeiten Sie zuerst die Klammern, dann die Multiplikation und Division und schließlich die Addition und Subtraktion.

Beliebt nach Thema