7 Möglichkeiten, Proportionen zu lösen

Du hast bereits Brüche wie 12{displaystyle {frac {1}{2}}} kennengelernt

. A proportion is a pair of fractions that are equal to each other, like 12=24{displaystyle {frac {1}{2}}={frac {2}{4}}}

. There are many different ways to solve proportion problems that ask you to find the missing number x{displaystyle x}

Schritt 1. Verwenden Sie die Beziehung zwischen der oberen und unteren Zahl des Bruchs

Wenn Sie die obere Zahl multiplizieren oder dividieren können, um die untere Zahl zu erhalten, ist diese Methode die einfachste.

• 312=19x{displaystyle {frac {color {blau}{3}}{color {blau}{12}}}={frac {19}{x}}}

• How are 3 and 12 related? 3×4=12{displaystyle 3\times {textbf {4}}=12}

• The other vertical column is related the same way: 19×4=x{displaystyle 19\times {textbf {4}}=x}

• x=76{displaystyle x=76}

  , so 312=1976{displaystyle {frac {3}{12}}={frac {19}{76}}}

  

  Schritt 1. Verwenden Sie die Beziehung zwischen den beiden Zahlen über den Anteil

  Sie können auch von links nach rechts über die beiden Brüche hinweg schauen:

  • x5=3610{displaystyle {frac {x}{color {orange}{5}}}={frac {36}{color {orange}{10}}}}

  • What is the relationship between 5 and 10? 5×2=10{displaystyle 5\times {textbf {2}}=10}

  • The other horizontal row is related the same way: x×2=36{displaystyle x\times {textbf {2}}=36}

  • x=18{displaystyle x=18}

    , so 185=3610{displaystyle {frac {18}{5}}={frac {36}{10}}}

  Question 3 of 7: How do I solve a proportion step by step by cross-multiplying?

  

  Schritt 1. Zeichnen Sie zwei diagonale Linien in einem "X" über die Proportion

  Schreiben Sie zum Beispiel diesen Anteil auf und ziehen Sie dann eine Linie zwischen den violetten Begriffen und eine weitere Linie zwischen den grünen Begriffen:

  • 14x=46{displaystyle {frac {color {lila}{14}}{color {grün}{x}}}={frac {color {grün}{4}}{color {lila} {6}}}}

  

  Schritt 2. Multiplizieren Sie die beiden Zahlen, die durch eine Linie verbunden sind

  Eine der Linien verbindet zwei Zahlen (anstelle einer Zahl und einer Variablen wie x{displaystyle x}

  ). Find the product of these two numbers:

  • 14×6=84{displaystyle \color {purple}{14\times 6}\color {black}{=}84}

  

  Schritt 3. Dividiere durch die letzte Zahl im Verhältnis

  Nehmen Sie die Antwort auf Ihre Multiplikationsaufgabe und teilen Sie sie durch die Zahl, die Sie noch nicht verwendet haben. (Dies ist im Beispiel die grüne Zahl.) Das Ergebnis ist der Wert von x{displaystyle x}

  , the missing number in your proportion.

  • 84÷4=21{displaystyle \color {purple}{84}\color {black}{div }\color {green}{4}\color {black}{=21}}

  • x=21{displaystyle x=21}

    , so you can fill in your proportion like this: 1421=46{displaystyle {frac {14}{21}}={frac {4}{6}}}

  Question 4 of 7: How do you find the missing value in a proportion with a table of ratios?

  

  Schritt 1. Zeichnen Sie eine Tabelle mit zwei Zeilen

  Setzen Sie die oberen Zahlen in Ihrer Proportion in die obere Reihe und die unteren Zahlen in die zweite Reihe. Behalten Sie Zahlen im selben Bruch in derselben Spalte bei und lassen Sie einige leere Spalten dazwischen und zu beiden Seiten. Hier ist ein Beispiel für das Problem 48x=1288{displaystyle {bf {{frac {48}{x}}={frac {128}{8}}}}}

  :

  • 	48			128
    	x			8

  • Each column in this table represents a fraction. All of the fractions in this table are equal to each other.
  

  Schritt 2. Fügen Sie Ihrer Tabelle äquivalente Brüche hinzu

  Beginnen Sie mit dem Bruch, bei dem Sie beide Zahlen kennen, und multiplizieren oder dividieren Sie dann jede Zahl in dieser Spalte mit dem gleichen Betrag. Schreiben Sie den neuen Bruch in Ihre Tabelle und setzen Sie ihn in eine Spalte, damit die Zahlen in der richtigen Reihenfolge sind:

  • Versuchen Sie beispielsweise, den oberen und unteren Teil von 1288{displaystyle {frac {128}{8}}} zu teilen.

    by 2. This gives you a new fraction, 644{displaystyle {frac {64}{4}}}

    , to put in your table.

  • 	48	64		128
    	x	4		8

  

  Schritt 3. Wiederholen Sie den Vorgang, bis Sie das Muster bemerken

  Wenn du neue Brüche findest, achte darauf, sie in die Tabelle einzutragen, damit die Zahlen in der richtigen Reihenfolge sind. Dies hilft Ihnen, die Optionen für den Wert von x einzugrenzen.

  • Sowohl der obere als auch der untere Teil von 644{displaystyle {frac {64}{4}}}

    are divisible by 2 again, giving you the fraction 322{displaystyle {frac {32}{2}}}

  • 32	48	64		128
    2	x	4		8

  • The x in your table is somewhere between 2 and 4. Let's try 3 by plugging it back into your proportion: 483=1288{displaystyle {frac {48}{bf {3}}}={frac {128}{8}}}

  

  Schritt 4. Überprüfen Sie Ihre Arbeit

  Überprüfen Sie Ihre Arbeit immer mit dieser Methode. Manchmal ist die Antwort keine ganze Zahl, und Sie müssen Brüche zu Ihrer Tabelle hinzufügen oder eine andere Methode verwenden.

  • Um zu prüfen, ob 483=1288{displaystyle {frac {48}{3}}={frac {128}{8}}}

    is the correct solution, draw two diagonal lines across the fraction. Multiply the two numbers along one line: 48×8=384{displaystyle 48\times 8=384}

  • Now multiply the two numbers along the other line: 3×128=384{displaystyle 3\times 128=384}

  • The two answers are the same, which means your answer is correct.

  Question 5 of 7: How do you solve percent proportions?

  

  Schritt 1. Schreiben Sie das Problem als Proportion um

  Sie können einen beliebigen Prozentsatz als Bruch von 100 schreiben. Verwenden Sie diese Tatsache, um ein Problem als Verhältnis (zwei gleiche Brüche) aufzustellen:

  • Der Anteil folgt immer der Form TeilGanz=%100{displaystyle {frac {Teil}{Ganz}}={frac {%}{100}}}
    

    and solve for it.

  

  Schritt 2. Lösen Sie durch Kreuzmultiplikation oder eine andere Methode

  Nachdem es nun als Proportion eingerichtet wurde, können Sie das Problem mit jeder Methode lösen. Eine der gängigsten Methoden ist die Kreuzmultiplikation:

  • Multiplizieren Sie zuerst über die diagonale Linie mit zwei bekannten Zahlen. Für das Verhältnis 36=x100{displaystyle {frac {color {purple}{3}}{6}}={frac {x}{color {purple}{100}}}}

    , that means multiplying 3×100=300{displaystyle 3\times 100=300}

  • Now divide your answer by the last remaining number in the proportion: 300÷6=50{displaystyle 300\div 6=50}

  • x=50{displaystyle x=50}

    and the complete proportion is 36=50100{displaystyle {frac {3}{6}}={frac {50}{100}}}

  Question 6 of 7: How do you solve proportions algebraically?

  

  Schritt 1. Behandeln Sie den Anteil als algebraische Gleichung

  Proportionen werden normalerweise in einer Voralgebraklasse eingeführt. Aber wenn Sie zur Algebra übergehen, werden Sie lernen, dass eine Proportion nur eine Art algebraischer Gleichung ist. Für jede algebraische Gleichung gibt es eine große Regel:

  • Sie können die linke Seite der Gleichung ändern, solange Sie die gleiche Mathematik auf der rechten Seite durchführen.

  

  Schritt 2. Multiplizieren Sie jede Seite mit einem Nenner

  Beim Auflösen nach einem unbekannten Wert x{displaystyle x}

  in an algebraic equation, your goal is to get x{displaystyle x}

  alone on one side. When the x{displaystyle x}

  is stuck inside a fraction, like in all proportion problems, a good way to start is to cancel out those fractions.

  • For example, start with the proportion 1727=13x{displaystyle {frac {17}{27}}={frac {13}{x}}}

  • To get rid of the fraction on the left, multiply both sides by 27:
  • 27×1727=27×13x{displaystyle {frac {27\times 17}{27}}={frac {27\times 13}{x}}}

  • The 27s on the left cancel out: 17=27×13x{displaystyle 17={frac {27\times 13}{x}}}

  

  Schritt 3. Multiplizieren Sie jede Seite mit dem anderen Nenner

  Dies wird den anderen Bruch loswerden. Sie können dies auch tun, wenn der Nenner x{displaystyle x} ist

  , as shown here:

  • x×17=x×27×13x{displaystyle x\times 17={frac {x\times 27\times 13}{x}}}

  • The two x{displaystyle x}

    s on the right cancel out: 17x=27×13{displaystyle 17x=27\times 13}

  

  Schritt 4. Dividiere, um x{displaystyle x} zu erhalten

  by itself.

  Now you should have one side of the equation that's just x{displaystyle x}

  multiplied by another number. Divide each side by that number to get x{displaystyle x}

  alone:

  • 17x17=27×1317{displaystyle {frac {17x}{17}}={frac {27\times 13}{17}}}

  • The 17s on the left cancel out: x=27×1317{displaystyle x={frac {27\times 13}{17}}}

  

  Schritt 5. Vereinfachen Sie Ihre Antwort oder lassen Sie sie unverändert

  Sie können jetzt Ihr Ergebnis in einen Taschenrechner eingeben (oder von Hand berechnen) und den Wert von x{displaystyle x} ermitteln

  . Sometimes, the answer won't simplify to a whole number or even an easy decimal. In that case, it's best to leave your answer as a fraction.

  • x=27×1317=35117{displaystyle x={frac {27\times 13}{17}}={frac {351}{17}}}

  • One big advantage to this method is that it works even when x{displaystyle x}

    is a difficult number like this. But if this didn't make much sense to you, that's okay: most teachers and textbooks start with the other methods above and teach you algebra a little later.

  Question 7 of 7: How do you solve a proportion with a variable on both sides?

  

  Schritt 1. Verwirklichen Sie, dass Ihr Ziel darin besteht, die Variable auf eine Seite zu bringen

  Schwierigere Proportionsprobleme haben ein x{displaystyle x}

  on both sides of the equal sign. This works just like any proportion, but you'll have to use algebra to handle the variable x{displaystyle x}

  . Your goal is to get every x{displaystyle x}

  in the equation onto one side, so you can simplify it into one x{displaystyle x}

  and find the answer.

  

  Schritt 2. Wenn ein x{displaystyle x}

  is a denominator, multiply both sides by x{displaystyle x}

  If the bottom of one fraction is x{displaystyle x}

  , then this will already get the x{displaystyle x}

  on one side. From that point on, normal algebra will get you to the answer:

  • 3x4=48x{displaystyle {frac {3x}{4}}={frac {48}{x}}}

  • Multiply by x{displaystyle x}

    on both sides: x×3x4=x×48x{displaystyle x\times {frac {3x}{4}}=x\times {frac {48}{x}}}

  • Simplify: 3x24=48{displaystyle {frac {3x^{2}}{4}}=48}

  • Multiply by 4 on both sides: 4×3x24=4×48{displaystyle 4\times {frac {3x^{2}}{4}}=4\times 48}

  • Simplify: 3x2=192{displaystyle 3x^{2}=192}

  • Divide by 3 on both sides: 3x23=1923{displaystyle {frac {3x^{2}}{3}}={frac {192}{3}}}

  • Simplify: x2=64{displaystyle x^{2}=64}

  • Find the square root: x=64=±8{displaystyle x={sqrt {64}}=\pm 8}

  

  Schritt 3. Ansonsten multipliziere mit dem gesamten Nenner mit x{displaystyle x}

  Multiplying by only part of the denominator will not help you get rid of the fraction. Always multiply by the entire denominator:

  • Warning: This is a difficult example. If you haven't learned about quadratic equations yet, you might want to skip this part.
  • 3x+1=2x8{displaystyle {frac {3}{x+1}}={frac {2x}{8}}}

  • Multiply by (x+1){displaystyle (x+1)}

    : (x+1)3x+1=2x(x+1)8{displaystyle (x+1){frac {3}{x+1}}={frac {2x(x+1)}{8}}}

  • Simplify. Remember to multiply 2x{displaystyle 2x}

    with both terms in the parentheses, and add the results together: 3=2x2+2x8{displaystyle 3={frac {2x^{2}+2x}{8}}}

  • The fraction on the right has terms that are all divisible by 2. Simplify: 3=x2+x4{displaystyle 3={frac {x^{2}+x}{4}}}

  • Multiply by 4 on both sides: 4×3=4×x2+x4{displaystyle 4\times 3=4\times {frac {x^{2}+x}{4}}}

  • Simplify: 12=x2+x{displaystyle 12=x^{2}+x}

  • Subtract 12 to get zero on one side: x2+x−12=0{displaystyle x^{2}+x-12=0}

  • You can now solve this as a quadratic equation, using any method that you've learned.
  • For example, you can factor this as (x+4)(x−3)=0{displaystyle (x+4)(x-3)=0}

    , then solve for x+4=0{displaystyle x+4=0}

    and x−3=0{displaystyle x-3=0}

    to get your two answers, x=−4{displaystyle x=-4}

    and x=3{displaystyle x=3}